¿Cuáles son las propiedades topológicas de un agujero negro de Schwarzschild y de su horizonte y singularidad?

Esta es mi auto-respuesta basada en mirar alrededor en los documentos y en la web. He notado algunos problemas sobre los que no estoy seguro y estaría agradecido si otros pudieran ayudar con estos. Gracias, Safesphere y Javier, por sus útiles comentarios y por la aclaración proporcionada por esta pregunta sobre matemáticas.SE.

La topología de la extensión máxima del espacio-tiempo de Schwarzschild , si no identifica puntos en las regiones I y III, es$R^2\times S^2$. Me parece que la forma más sencilla de ver esto es considerar el diagrama de incrustación de un puente de Einstein-Rosen, que es topológicamente un cilindro, y luego considerar las dos coordenadas suprimidas, que son un ángulo y un tiempo. Véase Misner, Thorne y Wheeler, pág. 837, figura 31.5a. Para una demostración más formal, consulte Monte 2011. Esta topología es simplemente conexa . es equivalente a$R^4$con una línea eliminada, lo que, como señaló Javier en los comentarios, tiene sentido si "usas las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein, en las que el espacio-tiempo es solo$R^4$menos la línea$r=0$."

Para la métrica simple de Schwarzschild, que consiste solo en las regiones I y II, los comentarios de Javier me han convencido de que la topología también es$R^2\times S^2$. Esto parece correcto porque en el diagrama de Penrose, cada punto representa dos esferas y, a diferencia del diagrama de Penrose para el espacio de Minkowski, este no tiene un punto en$r=0$eso no es una esfera doble.

Para un agujero negro que se forma por colapso gravitacional, creo que la topología es$R^4$, simplemente porque hay teoremas (Geroch, Borde) en GR que prohíben el cambio de topología. (Es cierto que existen soluciones de colapso gravitacional, como la solución de polvo de Oppenheimer-Snyder, que violan los supuestos de causalidad de estos teoremas y tienen un cambio de topología, pero no creo que este tipo de comportamiento sea lo que la mayoría de la gente piensa que sucede en colapso gravitacional del mundo real.) Esto parece contrario a la intuición, porque implicaría que I+II tiene una topología diferente a la del espacio-tiempo astrofísico real.

Lo que los especialistas parecen encontrar interesante es la topología de un segmento de tiempo del horizonte, y esto es lo que parecen querer decir cuando hablan de "la topología de un agujero negro". Hay un teorema muy conocido de Hawking que dice que una porción de tiempo del horizonte debe tener la topología$S^2$. Este teorema usa argumentos globales y asume la condición de energía dominante. Hay un montón de otras variaciones de este teorema, como versiones que son locales en lugar de globales, que asumen una condición de energía diferente y que hablan sobre el horizonte aparente.

La topología de la/s singularidad/es no está bien definida. Cuando decimos, por ejemplo, que la singularidad es una superficie similar al espacio, en realidad estamos hablando de un conjunto de definiciones especializadas que nos permiten aplicar tales palabras a una singularidad, que no es un conjunto de puntos en la variedad, y puede 't ser medido por la métrica. Ni siquiera podemos decir cuántas dimensiones tiene la singularidad. Para obtener más información sobre esto, consulte ¿ La singularidad de un agujero negro es un punto único? .

Referencias

Borde, 1994, "Cambio de topología en la relatividad general clásica", http://arxiv.org/abs/gr-qc/9406053

Geroch 1967, http://adsabs.harvard.edu/abs/1967JMP.....8..782G

Monte, 2011, "¿Cuál es la topología de un agujero negro de Schwarzschild?", https://arxiv.org/abs/1111.5790

Singularidad:

Supongamos que tenemos el disco unitario en$\mathbb R^2$con una singularidad en$r=0$. Entonces eliminaríamos el punto en$r=0$y obtener el disco de la unidad pinchada$0<r<1$. Ahora podemos aplicar una transformación de coordenadas de buen comportamiento (sin singularidades)$r\mapsto r+1$conseguir un anillo$(1,2)\times S_1$. Esto transforma la singularidad de un punto al círculo.$r=1$, es decir, transforma la singularidad de un solo punto a$S_1$.

Incluso puedes apretar$^1$el círculo$r=1$(figura-0, por así decirlo) a una línea (figura-1), o puede apretarlo de tal manera que se convierta en una figura-8 o una línea circular con un apéndice$^3$adjunto (figura 6): incluso si solo permitimos transformaciones de coordenadas que fijan la dimensión de la parte interesante del límite, la topología no está bien definida.

Por lo tanto, la dimensión y topología de la singularidad depende de la elección de coordenadas y no tiene significado físico. Para discutir la estructura de una singularidad, tenemos que fijar el sistema de coordenadas, o al menos asegurarnos de que las coordenadas en cuestión pertenecen a la misma clase.

Estos ejemplos bidimensionales se generalizan fácilmente a 4 dimensiones.

La idea intuitiva detrás de la "topología de una singularidad" es esta: nuestras coordenadas son homeomorfas a un subconjunto abierto$^2$de$\mathbb R^4$, y la singularidad se imagina como parte conectada de la frontera . Si bien esto puede hacerse matemáticamente riguroso, el resultado no es invariable incluso bajo cambios suaves de coordenadas.

$^1$Nuevamente por cambio suave de coordenadas. Por ejemplo,$z\mapsto z+1/z$aplicado a$\{z\in \mathbb C \,/\, |z|\geqslant 1\}$mapea el círculo$|z|=1$en la línea real$\mathbb R \cap |z|\leqslant 1$. Este mapa es suave para todos.$|z|>1$.

$^2$Para cada punto del conjunto, existe un subconjunto que envuelve/rodea ese punto.

$^3$Con longitud finita o infinita a tu disposición.