¿Cómo se ve el espacio-tiempo cerca de un agujero negro?

Estos diagramas intentan representar una porción del espacio-tiempo, pero probablemente lo confundan con un pozo de gravedad. Un diagrama de pozo de gravedad representa con una altitud para cada ubicación cuánta energía potencial tendría una partícula en esa ubicación. También es probable que haya cierta confusión con la analogía clásica de la hoja de goma que se usa para describir la gravedad (además, en muchos medios, los diseñadores gráficos no usan la forma correcta para ilustrar un artículo). En cambio, un diagrama de espacio-tiempo intenta representar cómo se curva el espacio-tiempo, no cuánta energía tendrías en un lugar en particular.

Lo más cerca que podemos llegar a eso para un agujero negro que no gira es el paraboloide de Flamm :

$$z(r)=2\sqrt{r_s(r-r_s)}$$ dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild. Esta es una superficie en el espacio 3D que corresponde a una porción 2D del espacio-tiempo del agujero negro en el plano ecuatorial durante un tiempo determinado. Las distancias entre puntos medidas a lo largo de la superficie corresponden a distancias medidas entre puntos en el espacio-tiempo del agujero negro.

(Por AllenMcC., CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3871398 )

Sin embargo, el paraboloide solo representa la curvatura espacial y no la curvatura temporal. Representa un solo "momento en el tiempo" y una partícula que se mueve en el espacio-tiempo no permanecerá en el paraboloide. Uno podría imaginar otros paraboloides apilados encima del primero con una distancia correspondiente a la distancia de tiempo$dt^2$, pero dado que esto varía con el radio, la imagen se vuelve poco clara de inmediato.

Además, tenga en cuenta que esta parábola termina en el horizonte de eventos.$r_s$. Sin embargo, es completamente válido considerar la parábola completa

$$z(r)^2=4r_s(r-r_s),$$ pero el significado es sutil: la mitad inferior no corresponde al interior del agujero negro, sino al llamado puente de Einstein-Rosen que es una forma de agujero de gusano.

Para comprender realmente la estructura del espacio-tiempo , los diagramas de Penrose son útiles porque en realidad intentan mostrar la topología de (una parte del) espacio-tiempo. Para un agujero negro , dejan en claro que la singularidad no es un punto, ni un círculo ni ninguna otra forma similar al espacio, sino una cosa similar al espacio similar a un momento particular en el tiempo. Por eso es tan inevitable y difícil de ilustrar.

El problema con todas estas imágenes es que se basan en la intuición formada al estudiar espacios bidimensionales curvos, mientras que la relatividad general se ocupa del espacio-tiempo curvo, y es la inclusión del componente de tiempo el responsable de la característica definitoria del agujero negro como el horizonte. .

Entonces, una imagen más útil del espacio-tiempo de un agujero negro sería una imagen de una cascada , en la que el espacio mismo cae hacia un solo punto. Los objetos materiales están siendo transportados por este flujo y pueden moverse dentro de él de acuerdo con las reglas de la relatividad especial. Cuanto más se acerca al punto de singularidad el flujo, mayor es su velocidad. En la superficie del horizonte del agujero negro, la velocidad del flujo supera la velocidad de la luz, lo que hace imposible que escape cualquier objeto que se lleve dentro.

Esta analogía de flujo (que podría hacerse matemáticamente precisa) se presenta en un artículo:

• Andrew JS Hamilton y Jason P. Lisle (2008) “ El modelo fluvial de los agujeros negros ” Am. J. física. 76 519-532, arXiv:gr-qc/0411060 .

Andrew Hamilton también tiene una página web con varias visualizaciones y representaciones de agujeros negros (la imagen de arriba se tomó de la sección de la cascada ).

En GR (relatividad general), el tiempo físico (adecuado) y las distancias no vienen dados directamente por las coordenadas, sino que deben calcularse a partir de la métrica. La solución de Schwarzschild describe una distribución de masa estática y esféricamente simétrica. La existencia de un horizonte de sucesos define un agujero negro.

En coordenadas de Schwarzschild, la distancia radial es una distancia circunferencial (dividida por$2 \pi$), no la distancia radial adecuada medida por un observador local. Tenemos

$$dl = \frac{dr}{\sqrt{1 - r_s/r}}$$ dónde:
$c = G = 1$unidades naturales
$r$es la distancia radial coordenada
$l$es la distancia radial apropiada
$r_s = 2M$es el radio de Schwarzschild, y
$M$es la masa del agujero negro.

Nota: El radio de Schwarzschild define el horizonte de sucesos que desconecta el interior de un agujero negro del espacio-tiempo exterior.

Las imágenes en la pregunta son diagramas incrustados que deberían ayudar a visualizar la estructura de un espacio curvo, incluso si no se parece a un agujero negro, como a veces se malinterpreta en las discusiones de nivel popular.

En el caso de un agujero negro, el diagrama reduce progresivamente el radio teniendo como límite el radio de Schwarzschild, que es el horizonte de sucesos. El significado es que las coordenadas de Schwarzschild no pueden describir el espacio-tiempo más allá del horizonte. Para cruzar el horizonte, debe cambiar las coordenadas, por ejemplo, a las coordenadas de Eddington-Finkelstein.
Nota: La última imagen no termina en un punto, sino en el radio del horizonte.

Los agujeros negros no rasgan el espacio-tiempo, ya que el horizonte es absolutamente franqueable, incluso si no es posible regresar.

Bien. La relatividad general dice que el horizonte de eventos se puede cruzar y el tiempo seguiría corriendo exactamente de la misma manera. La relatividad general también dice que la densidad de un agujero negro es infinita porque su volumen es formalmente cero, ya que es una singularidad. Por supuesto, para un agujero negro estático, la singularidad es un punto, mientras que para un agujero negro giratorio es un anillo (sin embargo, el volumen sigue siendo cero,$R_{sch}=\frac {2GM}{c^2}$). Si un individuo se coloca fuera del agujero negro y está observando un reloj que se mueve hacia el horizonte de eventos, entonces el reloj parecería moverse más lento y, de hecho, nunca llegaría al agujero negro porque el tiempo se vuelve infinitamente lento en el evento. horizonte. Si un individuo está apegado al reloj, entonces todo se vería exactamente igual y el tiempo correría tal como el individuo está acostumbrado.

Editar: los agujeros negros no necesariamente rasgan el espacio-tiempo. Pero existe un fenómeno llamado incompletitud geodésica, en referencia a la singularidad. Aquí es donde terminan todas las geodésicas (los caminos geodésicos son líneas rectas que se convierten en órbitas elípticas o trayectorias hiperbólicas bajo el efecto de la gravedad. Los caminos que continúan indefinidamente se llaman geodésicas completas , y los que se detienen abruptamente se llaman geodésicas incompletas ). Este es el punto en el que las matemáticas parecen desmoronarse por completo.