Diferencia entre espacio topológico y topología.

Está equivocado cuando afirma que “una topología en$X$es una colección de subconjuntos abiertos de$X$que satisfacen tres propiedades”. Una topología en$X$es una coleccion$\tau$de conjuntos que satisfacen tres propiedades, y entonces decimos que un subconjunto$A$de$X$está abierto cuando (y solo cuando)$A\in\tau$.

Y decimos que$F\subset X$está cerrado cuando$F^\complement$Esta abierto. Entonces, desde$\emptyset^\complement=X$y$X\in\tau$,$\emptyset$está cerrado. Y desde$X^\complement=\emptyset$y$\emptyset\in\tau$,$X$está cerrado.

Un subconjunto de un espacio topológico$X$puede ser tanto abierto como cerrado. Las propiedades no son mutuamente excluyentes.$\varnothing$y$X$son subconjuntos abiertos de$X$por definición. Los conjuntos cerrados son aquellos cuyo complemento es abierto. Por lo tanto,$\varnothing$y$X$también están cerrados.

Comentarios) Debes distinguir$X$de$\tau$. Llamamos a un conjunto$X$junto con su topología$\tau$un espacio topológico. A menudo lo escribimos como$(X,\tau)$para aclarar esto.$\tau$es una familia de todo subconjunto abierto de$X$mientras$X$es solo un conjunto. Pero en muchos libros, simplemente llaman$X$un espacio topológico asumiendo$\tau$se entiende en el contexto.

Consulte el conjunto de cierre

Desde$X=\emptyset^\complement\;$y$\;\emptyset=X^\complement\;$entonces en cualquier espacio topológico son conjuntos cerrados y abiertos (clopens). En un espacio topológico estos son los únicos clopens$\iff$el espacio esta conectado