Nombre para funciones con cierta propiedad de acotación

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Nombre para funciones con cierta propiedad de acotación

funciones
Matemáticas
terminología
espacios métricos
topología general

Léreau

Dejar $f: X_1 \rightarrow X_2$ sea una función entre dos espacios métricos. Mi pregunta es, si hay un nombre en la literatura estándar para la siguiente propiedad de $f$ en $x \in X_1$ :

$(1) \forall ε > 0 \exists d > 0 : {soy}_{F} (B_{ε} (X)) \subseteq B_{d} (F (X))$ $(1)~~~~~~~~~~~ \forall \varepsilon > 0 ~~\exists \delta > 0 :~~\operatorname{im}_f(B_\varepsilon(x) ) \subseteq B_\delta(f(x))$ es decir, la imagen de cada $\varepsilon$ -la pelota está acotada.

Al buscar candidatos obvios para un nombre, solo encontré el término de "limitación local" en $x$ '' que en este caso puede expresarse como

(2) \exists ε > 0 \exists d > 0 : {soy}_{| F |} (B_{ε} (X)) \subseteq B_{d} (0)

$(2)~~~~~~~~~~~ \exists \varepsilon > 0 ~~\exists \delta > 0 :~~\operatorname{im}_{\vert f \vert}(B_\varepsilon(x) ) \subseteq B_\delta(0)$ Por supuesto, no son equivalentes, ya que por ejemplo: la función real

f (x) = x^{- 1}

$f(x)=x^{-1}$ está acotado localmente en cada punto

x \neq 0

$x \neq 0$ pero no tiene propiedad

(1)

$(1)$ en cualquier punto.

Roberto Thingum

Es el

δ

$\delta$ mencionado mundial? Es decir, es la condición

\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in X_{1} \dots

$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X_{1}\ldots$ la condición que pretende, o eso

δ

$\delta$ depender de

x

$x$ ?

Roberto Thingum

Una consecuencia de su definición (independientemente de si el

δ

$\delta$ es global) es que si

f : X_{1} \to X_{2}

$f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ es tal mapa entonces

f (X_{1}) \subseteq B (f (x), δ_{x})

$f(X_{1})\subseteq B(f(x),\delta_{x})$ para cada

x \in X_{1}

$x\in X_{1}$ . No estoy seguro si quieres esto o no.

Léreau

@RobertThingum No,

δ

$\delta$ no pretende ser global. Así que la cuantificación estaba más destinada a ser

\forall x \in X_{1} \forall ε \exists δ . . .

$\forall x \in X_1 ~\forall \varepsilon ~\exists \delta ~...$ , significado

δ = δ (ε, x)

$\delta = \delta(\varepsilon,x)$ .

Léreau

@RobertThingum creo

f (X_{1}) \subseteq B (f (x), δ_{x})

$f(X_1) \subseteq B(f(x) , \delta_x)$ solo es posible si

X_{1}

$X_1$ está ligado. No funciona en el ejemplo que di, ya que

f (R ∖ {0}) = R ∖ {0}

$f(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Roberto Thingum

Tus funciones se parecen a funciones bornólogas. en.wikipedia.org/wiki/Bornological_space#Bounded_maps

Léreau

@RobertThingum ¡Sí! Esto encaja exactamente con lo que estaba buscando; ¡muchas gracias! Puedes escribir una respuesta si quieres.

Respuestas (1)

Nombre para funciones con cierta propiedad de acotación

Es el $\delta$ mencionado mundial? Es decir, es la condición $\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X_{1}\ldots$ la condición que pretende, o eso $\delta$ depender de $x$ ?
Una consecuencia de su definición (independientemente de si el $\delta$ es global) es que si $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ es tal mapa entonces $f(X_{1})\subseteq B(f(x),\delta_{x})$ para cada $x\in X_{1}$ . No estoy seguro si quieres esto o no.
@RobertThingum No, $\delta$ no pretende ser global. Así que la cuantificación estaba más destinada a ser $\forall x \in X_1 ~\forall \varepsilon ~\exists \delta ~...$ , significado $\delta = \delta(\varepsilon,x)$ .
@RobertThingum creo $f(X_1) \subseteq B(f(x) , \delta_x)$ solo es posible si $X_1$ está ligado. No funciona en el ejemplo que di, ya que $f(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Tus funciones se parecen a funciones bornólogas. en.wikipedia.org/wiki/Bornological_space#Bounded_maps
@RobertThingum ¡Sí! Esto encaja exactamente con lo que estaba buscando; ¡muchas gracias! Puedes escribir una respuesta si quieres.

Roberto Thingum · Answer 1

Las funciones que satisfacen $(1)$ son las funciones que envían conjuntos acotados métricamente de $X_{1}$ a conjuntos métricamente acotados de $X_{2}$ .

Ver lo siguiente

Espacio Bornológico en wiki

Si está interesado en leer sobre algunas aplicaciones de este tipo de funciones dentro de un área activa de investigación, debe buscar geometría gruesa.

Espacios gruesos en wiki

¿Es correcto decir $f$ conserva conjuntos acotados métricamente?
Yo diría que sí. También podrías decir que $f$ simplemente conserva la "limitación".

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Respuestas (1)

Roberto Thingum

Alex Vong

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