Demuestra que {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} se cierra en R2R2\mathbb{R^2} usando secuencias

Question

Demuestra que {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} se cierra en R2R2\mathbb{R^2} usando secuencias

Matemáticas
espacios métricos
topología general
secuencias y series

ssvnormandysr1

Métrica habitual.

Las definiciones abreviadas que acabamos de dar son:

Secuencia convergente: una secuencia $(x_n)$ en un espacio métrico $X$ converge a $x_0$ si por cada $\varepsilon \gt 0$ hay $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $d(x_n, x_0) \lt \varepsilon$ para cada $n \geq n_0$ .

Conjunto cerrado: un conjunto $F$ en un espacio métrico $X$ es cerrada si y solo si toda sucesión convergente en $F$ converge en un punto de $F$ .

Esta es la última pregunta de un conjunto de problemas para estudiar en clase. Las definiciones que estamos usando son muy estándar para un curso de Introducción a la topología, pero todavía no entiendo cómo aplicarlas correctamente. ¿Alguien podría echarme una mano? ¿O mostrarme cómo empezar?

Ted Shifrin

Haga algunos intentos aquí. Supongo que se le permite utilizar la continuidad de

\sin

$\sin$ , por lo que cualquier sucesión que converge a

(x_{0}, y_{0})

$(x_0,y_0)$ con

x_{0} > 0

$x_0>0$ debería poder manejarlo con facilidad (es decir, ¿qué debe mostrar en este caso?). A continuación, suponga que tiene una secuencia que converge a

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ . ¿Qué debes mostrar en este caso?

ssvnormandysr1

Entonces para

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ tengo que mostrar eso

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ todavía está en el conjunto correcto? Entonces, ¿asumir que no funciona y tratar de llegar a una contradicción?

Ted Shifrin

Sí, tienes que demostrar que si

(x_{n}, y_{n})

$(x_n,y_n)$ es una secuencia en su conjunto que converge a

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ , entonces

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ está en su conjunto. ¿Qué significa qué?

ssvnormandysr1

A partir de eso, creo que debería usar la definición de convergencia. Entonces sé que si

(x_{n}, y_{n})

$(x_n,y_n)$ converge a

(0, y_{0})

$(0,y_0)$ , entonces

x_{n}

$x_n$ converge a

0

$0$ y

y_{n}

$y_n$ converge a

y_{0}

$y_0$ . Lo que significa que para

ε > 0

$ε>0$ , hay

n_{0}

$n_0$ tal que

d (x_{n}, 0) < ε

$d(x_n,0)<ε$ y

d (y_{n}, y_{0}) < ε

$d(y_n,y_0)<ε$ . Estoy un poco perdido después de eso...

Pablo escarcha

Su conjunto se conoce como la curva sinusoidal del topólogo cerrado. Hay muchas preguntas en este foro relacionadas con esto.

plata

Si

y_{0} > 1

$y_0 > 1$ , elegir

ϵ := (y_{0} - 1)^{2}

$\epsilon := (y_0 - 1)^2$ . Para cualquier

(x_{n}, y_{n})

$(x_n, y_n)$ , tienes

d ((x_{n}, y_{n}), (0, y^{*}))^{2} = x_{n}^{2} + (y_{n} - y^{*})^{2} \geq (1 - y^{*})^{2} = ϵ

$d((x_n, y_n), (0, y^*))^2 = x_n^2 + (y_n - y^*)^2 \ge (1 - y^*)^2 = \epsilon$ . Esto muestra que su secuencia no converge hacia

(0, y^{*})

$(0, y^*)$ .

ssvnormandysr1

Lo conseguí, muchas gracias a todos.

Pablo escarcha

@ssvnormandysr2 Entonces debería escribir una respuesta a su propia pregunta. Consulte math.stackexchange.com/help/self-answer .

usuario2661923

En mi experiencia, para la mayoría de las consultas publicadas aquí, el autor original no se molesta en especificar las definiciones o brindar antecedentes sobre el problema. Si su consulta no hubiera sido ya votada, yo habría votado por eso.

Respuestas (3)

Demuestra que {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} se cierra en R2R2\mathbb{R^2} usando secuencias

Haga algunos intentos aquí. Supongo que se le permite utilizar la continuidad de $\sin$ , por lo que cualquier sucesión que converge a $(x_0,y_0)$ con $x_0>0$ debería poder manejarlo con facilidad (es decir, ¿qué debe mostrar en este caso?). A continuación, suponga que tiene una secuencia que converge a $(0,y_0)$ . ¿Qué debes mostrar en este caso?
Entonces para $(0,y_0)$ tengo que mostrar eso $(0,y_0)$ todavía está en el conjunto correcto? Entonces, ¿asumir que no funciona y tratar de llegar a una contradicción?
Sí, tienes que demostrar que si $(x_n,y_n)$ es una secuencia en su conjunto que converge a $(0,y_0)$ , entonces $(0,y_0)$ está en su conjunto. ¿Qué significa qué?
A partir de eso, creo que debería usar la definición de convergencia. Entonces sé que si $(x_n,y_n)$ converge a $(0,y_0)$ , entonces $x_n$ converge a $0$ y $y_n$ converge a $y_0$ . Lo que significa que para $ε>0$ , hay $n_0$ tal que $d(x_n,0)<ε$ y $d(y_n,y_0)<ε$ . Estoy un poco perdido después de eso...
Su conjunto se conoce como la curva sinusoidal del topólogo cerrado. Hay muchas preguntas en este foro relacionadas con esto.
Si $y_0 > 1$ , elegir $\epsilon := (y_0 - 1)^2$ . Para cualquier $(x_n, y_n)$ , tienes $d((x_n, y_n), (0, y^*))^2 = x_n^2 + (y_n - y^*)^2 \ge (1 - y^*)^2 = \epsilon$ . Esto muestra que su secuencia no converge hacia $(0, y^*)$ .
@ssvnormandysr2 Entonces debería escribir una respuesta a su propia pregunta. Consulte math.stackexchange.com/help/self-answer .
En mi experiencia, para la mayoría de las consultas publicadas aquí, el autor original no se molesta en especificar las definiciones o brindar antecedentes sobre el problema. Si su consulta no hubiera sido ya votada, yo habría votado por eso.

Mostafá Ayaz · Answer 1

Deja una secuencia $(x_n,\sin\frac{1}{x_n})$ converger en algún punto $(x_0,y_0)$ . Desde $x_n\ge 0$ y $-1\le y_n\le 1$ , tenemos dos casos:

$x_0=0$

En este caso, el punto límite cae dentro de $\{(0,y): -1\le y\le 1\}$ porque $x_n\ge 0$ y $-1\le y_n\le 1$ .

$x_0>0$

Podemos escribir

| X_{norte} - X_{0} | < ϵ_{1} ⟹ | pecado \frac{1}{X_{norte}} - pecado \frac{1}{X_{0}} | < ϵ_{2} | pecado \frac{1}{X_{norte}} - y_{0} | < ϵ_{3} .

${ |x_n-x_0|<\epsilon_1\implies |\sin\frac{1}{x_n}-\sin\frac{1}{x_0}|<\epsilon_2 \\ |\sin\frac{1}{x_n}-y_0|<\epsilon_3 }.$ De las desigualdades anteriores, concluimos por la desigualdad triangular que

| pecado \frac{1}{X_{0}} - y_{0} | = | pecado \frac{1}{X_{norte}} - y_{0} - pecado \frac{1}{X_{norte}} + pecado \frac{1}{X_{0}} | \leq | pecado \frac{1}{X_{norte}} - y_{0} | + | pecado \frac{1}{X_{norte}} - y_{0} | < ϵ_{2} + ϵ_{3},

${|\sin\frac{1}{x_0}-y_0| \\=|\sin\frac{1}{x_n}-y_0-\sin\frac{1}{x_n}+\sin\frac{1}{x_0}| \\\le|\sin\frac{1}{x_n}-y_0|+|\sin\frac{1}{x_n}-y_0| \\<\epsilon_2+\epsilon_3 } ,$ cuyos rendimientos

\sin \frac{1}{x_{0}} - y_{0}

$\sin\frac{1}{x_0}-y_0$ porque ambos

y_{0}

$y_0$ y

\sin \frac{1}{x_{0}}

$\sin\frac{1}{x_0}$ son constantes

◼

$\blacksquare$

Zorngo · Answer 2

Dejar $S$ denote el conjunto en cuestión y fije $z \in S$ .

Primero supongamos que $z = (x,\sin(\frac{1}{x}))$ para algunos $x \in (0,1]$ . Elige tu secuencia favorita $(x_n)$ tal que $x_n \to x$ y $x_n \in (0,1]$ (p.ej. $x_n = x + \frac{1}{n}$ para lo suficientemente grande $n$ .) Desde $\sin(\frac{1}{x})$ es continua en $(0,1]$ resulta que $\sin(\frac{1}{x_n}) \to \sin(\frac{1}{x})$ . Por eso, $(x_n,\sin(\frac{1}{x_n}))$ es una secuencia en $S$ que converge a $z$ .

Ahora supongamos que $z = (0,y)$ para algunos $y \in [-1,1]$ . Dado que la función $\sin$ es continua, un argumento del teorema del valor intermedio implica que para cada $n \in \mathbb N$ , existe alguna $a_n \in [n,n+2\pi]$ tal que $\sin(a_n) = y$ . Dejar $x_n = \frac{1}{a_n}$ y observa que $x_n \in (0,1]$ . Entonces $x_n \to 0$ y $\sin(\frac{1}{x_n}) \to y$ . Resulta que $(x_n,\sin(\frac{1}{x_n}))$ es una secuencia en $S$ convergiendo a $z$ .

Dado que cada punto de $S$ es el punto límite de alguna secuencia en $S$ , resulta que $S$ está cerrado.

Yushiro Aoki · Answer 3

Dejar $A: = \{ (x, \sin(\frac{1}{x})) \mid x \in (0, 1] \}$ y $B := \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \}$ .

Reparar cualquier secuencia $\{a_n\} _{n \in \mathbb{N}} = \{ (x_n , y_n )\} _{n \in \mathbb{N}}$ en $A \cup B$ que convergen en $\mathbb{R}^2$ .

Dejar $a = (x,y)$ ser el punto límite de $\{a_n\}_n$ .

Dejar $N_A := \{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \in A \}$ y $N_B := \{ n \in \mathbb{N} \mid a_n \in B \}$ .

Entonces, al menos uno de $N_A$ y $N_B$ es ilimitado en $\mathbb{N}$ .

Supongamos que el caso esencial de que $N_A$ es ilimitado (de lo contrario, use la cercanía de $B$ ) y $x = 0$ (de lo contrario, utilice la continuidad de $\sin(\frac{1}{x})$ ) ocurre.

Considere la subsecuencia $\{a_n\}_{n\in N_A}$ . Tenga en cuenta que el límite de cualquier subsecuencia de una secuencia convergente $\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es igual al límite de $\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ (¿sabes?). Desde $y_n = \sin (\frac{1}{x_n})\in [-1 , 1]$ para todos $n \in N_A$ y $[-1, 1]$ está cerrado, tenemos $y \in [-1, 1]$ .

Por lo tanto $a \in B$ .

De este modo $A\cup B$ está cerrado por debajo del límite de secuencia y, por lo tanto, está cerrado.

Demuestra que {(x,sin(1/x)):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}{(x,sin⁡(1/x) ):x∈(0,1]}∪{(0,y):y∈[−1,1]}\{(x,\sin(1/x)) : x∈(0,1] \} \cup \{(0,y) : y ∈ [-1,1] \} se cierra en R2R2\mathbb{R^2} usando secuencias

ssvnormandysr1

Ted Shifrin

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Ted Shifrin

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Pablo escarcha

plata

ssvnormandysr1

Pablo escarcha

usuario2661923

Respuestas (3)

Mostafá Ayaz

Zorngo

Yushiro Aoki

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Cómo verificar la convergencia de la secuencia en el espacio métrico completo.

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