¿Es una clausura una unión disjunta de puntos límite y puntos aislados?

Para ver eso$S_1 \cap S_2 = \emptyset$solo hace falta comentar que un punto aislado de$S$(es decir, un punto en$S_2$) ciertamente no es un punto límite de$S$, es decir, un punto de$S_1$.

Su otro argumento contribuye en gran medida a demostrar la igualdad$\overline{S} = S_1 \cup S_2$, aunque.

Primero,$S_1 \subset \overline{S}$, trivialmente, y$S_2 \subset S$, así que ciertamente$S_2 \subset \overline{S}$, para cuidar la inclusión$S_1 \cup S_2 \subset \overline{S}$.

Ahora (a ver$\overline{S} \subset S_1 \cup S_2$): si$x \in \overline{S}$, entonces puede ser un punto límite de$S$, y estaríamos listos, o hay una pelota$B(x,r)$que contiene sólo un número finito de puntos de$S$, decir$s_1,\ldots, s_n$. Si$x$no es uno de los$s_i$, tomaríamos$r'$menor que$r$y todo$d(x, s_i)$y tener una pelota$B(x,r')$alrededor$x$desaparecido$S$, que no puede ser como$x \in \overline{S}$. Entonces$x = s_i$para algunos$i$. pero ahora toma$r'$menor que$r$y todo$d(x, s_j)$, dónde$j \neq i$, y tenemos$B(x, r') \cap S = \{x\}$, entonces$x \in S_2$.

En resumen, su argumento (ligeramente extendido) muestra que$x \in \overline{S}$y$x \notin S_1$, entonces$x \in S_2$, que muestra la otra inclusión requerida.

En un espacio métrico$X$, el cierre de$S$es el conjunto de todos los puntos$x \in X$tal que$x_n \to x$por alguna secuencia$\{x_n\}_n$de puntos de$S$. Ojo, la sucesión constante está permitida, y por eso necesitas puntos aislados (pertenecientes a$S$, por supuesto).