Topología general y definición de base

En el libro "Introducción a las variedades suaves" de John M. Lee, el autor definió la topología general y la base como:

Una topología en un conjunto X es una colección T de subconjuntos de X , llamados conjuntos abiertos , que satisfacen:

  1. X y ∅ estan abiertos
  2. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.
  3. La intersección de cualquier familia finita de conjuntos abiertos es abierta

Una base para una topología en X es una colección B de subconjuntos de X tal que

  1. X = ∪ B ∈ B B
  2. Si B 1 , B 2 ∈ B y X ∈ B 1 ∩ B 2 , existe B 3 ∈ B tal que X ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2


Mis preguntas son:

  • En definición de topología: ¿Por qué "unión de cualquier familia"? ¿Por qué no "unión de elementos finitos de T "? Lo mismo con la intersección.
  • En definición de base: son los establecidos B conjuntos abiertos? ¿Sería diferente si consideramos la base como una colección de subconjuntos generales? Y lo hace B 3 tiene que ser un subconjunto estrictamente propio de B 1 ∩ B 2 ?
Tenga en cuenta que para la unión, no es la unión de una cantidad finita, es la unión de muchos elementos arbitrariamente de T . Sin embargo, para la intersección, la demanda solo requiere familias finitas.

Respuestas (2)

Para su segundo punto: Sí, los conjuntos están abiertos (al menos una vez que genera la topología), y no B 3 no tiene que ser adecuado.

Para el primer punto: quizás una mejor pregunta sería preguntar por qué requerimos que la colección sea finita cuando hablamos de intersección. Veamos la topología estándar en la línea real. Para cada norte ∈ norte definir

I norte = ( − 1 norte , 1 norte ) .
Cada uno de estos son conjuntos abiertos, pero
⋂ norte = 1 ∞ I norte = { 0 } .

Esto no está abierto.

Para el segundo punto, no, no están abiertos; aún no. Son cualquier subconjunto siempre que cumplan con el requisito dado. Luego, puede usar esa base para generar una topología (la topología consistirá en todas las uniones posibles de elementos de B ), y una vez que haya hecho eso, el B i será parte de esa topología, y como tal, abierta.
@Arthur Punto justo, estaba pensando en el resultado final.

Intentaré explicar un punto de vista sobre lo que se supone que representa una topología. Con suerte, le dará una idea de por qué no es demasiado restrictivo pedir que la unión arbitraria de conjuntos abiertos sea abierta, y por qué (a veces) es demasiado restrictivo pedir que las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos sean abiertas.

Dejar F : R → R sea ​​una función y considere el siguiente enunciado.

La función F es continua en X si F ( y ) puede hacerse arbitrariamente cerca de F ( X ) proporcionó y ∈ R está suficientemente cerca de X .

Puede pensar en una topología como dando un significado riguroso a "cerrar arbitrariamente" y "cerrar suficientemente" sin hacer referencia a una distancia (e incluso donde no hay una función de distancia).

Con una topología, puede reemplazar la declaración " PAG ( X ; y ) vale para todos X suficientemente cerca de y " por " existe un conjunto abierto tu ∈ y tal que PAG ( X ; y ) vale para todos X ∈ tu ". Del mismo modo, puede reemplazar la declaración " X puede hacerse arbitrariamente cerca de y " por " X se puede hacer que pertenezca a cualquier conjunto abierto que contenga y " .

Ahora, considere una familia B de conjuntos abiertos dando un significado sensible a las declaraciones anteriores. Si lo piensas bien, puedes ver que la familia τ obtenido tomando todas las uniones posibles en B tiene exactamente el mismo sentido de "suficientemente cerca" y "arbitrariamente cerca". Por lo tanto, no es demasiado restrictivo permitir que la unión arbitraria de conjuntos abiertos sea abierta. Sin embargo, si permite intersecciones arbitrarias, es posible que tenga un problema con "cerrar arbitrariamente": Ken da un ejemplo en otra respuesta.

Nota: Ken respondió bien las otras partes de su pregunta.

¿Te refieres a la topología sobre una base? B del espacio topológico ( X , T ) impuesto al tomar toda unión de elementos de la base B es exactamente T (como base de un espacio vectorial) ?
Sí, esta es una de las cosas que insinúo. Por el punto (2) de la definición de una base B , el conjunto de uniones arbitrarias de B es cerrado bajo intersección finita.
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