¿Los conjuntos abiertos simplemente conectados en R2R2\Bbb R^2 siempre tienen límites continuos?

Question

¿Los conjuntos abiertos simplemente conectados en R2R2\Bbb R^2 siempre tienen límites continuos?

Matemáticas
curvas planas
conexión
análisis real
topología general

Keshav Srinivasan

Una curva de Jordan es una curva cerrada continua en $\Bbb R^2$ que es simple, es decir, no tiene autointersecciones. El teorema de la curva de Jordan establece que el complemento de cualquier curva de Jordan tiene dos componentes conectadas, una interior y una exterior.

Definamos una curva ilimitada como un mapa continuo $f: \Bbb R\to\Bbb R^2$ tal que el límite de $|f(t)|$ como $t$ va a más o menos infinito es infinito. Luego, como se discutió en los comentarios a mi pregunta aquí, el complemento de una curva simple ilimitada tiene dos componentes conectados: ¿ Se aplica el teorema de la curva de Jordan a curvas no cerradas?

Mi pregunta es, ¿es todo conjunto abierto simplemente conexo en $\Bbb R^2$ un componente conexo del complemento de una curva de Jordan o una curva simple ilimitada? Para decirlo de otra manera, ¿el límite de un conjunto abierto simplemente conectado es siempre una curva continua, o existen conjuntos con límites más extraños que esos?

Si siempre tienen límites continuos, ¿puede esto generalizarse a dimensiones superiores?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

daniel pescador

El complemento del conjunto de Mandelbrot (en la esfera

\hat{C}

$\widehat{\mathbb{C}}$ ) está simplemente conectado. Su límite es bastante salvaje.

Keshav Srinivasan

@DanielFischer, estoy hablando de conjuntos en R ^ 2, no de la esfera de Riemann.

daniel pescador

Bueno, considera la inversión.

z \mapsto \frac{1}{z}

$z \mapsto \frac1z$ . Que asigna el complemento a un subconjunto de

C

$\mathbb{C}$ , que se puede identificar canónicamente con

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ .

Andrés E. Caicedo

Donald Sarason de Berkeley tiene una imagen de un dibujo que usa en su clase de análisis complejo, de un conjunto abierto simplemente conectado que parece un dragón con infinitas patas, el ojo es una espiral. Está tan lejos de un "límite continuo" como puedas imaginar. (Tengo una copia de la imagen, pero actualmente no tengo acceso a un escáner. Intentaré recordar en unos días y publicaré una copia).

Respuestas (2)

¿Los conjuntos abiertos simplemente conectados en R2R2\Bbb R^2 siempre tienen límites continuos?

El complemento del conjunto de Mandelbrot (en la esfera $\widehat{\mathbb{C}}$ ) está simplemente conectado. Su límite es bastante salvaje.
@DanielFischer, estoy hablando de conjuntos en R ^ 2, no de la esfera de Riemann.
Bueno, considera la inversión. $z \mapsto \frac1z$ . Que asigna el complemento a un subconjunto de $\mathbb{C}$ , que se puede identificar canónicamente con $\mathbb{R}^2$ .
Donald Sarason de Berkeley tiene una imagen de un dibujo que usa en su clase de análisis complejo, de un conjunto abierto simplemente conectado que parece un dragón con infinitas patas, el ojo es una espiral. Está tan lejos de un "límite continuo" como puedas imaginar. (Tengo una copia de la imagen, pero actualmente no tengo acceso a un escáner. Intentaré recordar en unos días y publicaré una copia).

devin murray · Answer 1

Incluso ignorando el contraejemplo trivial $\mathbb{R}^2$ , podemos generar una serie de contraejemplos.

Llevar $\mathbb{R}^2$ y borrar todo $x$ eje aparte de un pequeño intervalo alrededor del origen. Esto se conectará simplemente con un límite desconectado.

Exigiendo que nuestro conjunto esté acotado, intersecamos nuestro contraejemplo anterior con la bola unitaria abierta centrada en el origen. Esto nuevamente estará abierto, simplemente conectado, y tendrá el desafortunado hecho de que su límite no es una curva de Jordan.

Es posible que si requiere que su conjunto abierto sea un conjunto abierto regular acotado, es decir, que $A = Int(Cl(A))$ que obtendrá una respuesta afirmativa.

Ni siquiera entonces, a menos que permita que el límite sea parcialmente simple: tome $B_2((0,0))\setminus B_1((1,0))$ .

Nate Eldredge · Answer 2

Considere la caja abierta $B = (-1,1) \times (-2,2)$ . Dejar $C$ Sea la curva sinusoidal del topólogo cerrado , que consta de los puntos $(x, \sin(1/x))$ para $0 < x \le 1$ , y el segmento $\{0\} \times [-1,1]$ . $C$ es compacto, por lo que $U := B \setminus C$ es abierto, y también acotado. $U$ también es simplemente conexo, y su límite $\partial U$ consiste en el rectángulo $\partial B$ Juntos con $C$ . Pero $C$ no está conectado por caminos, y tampoco lo está $\partial U = \partial B \cup C$ , entonces $\partial U$ no es la imagen continua del espacio conectado por caminos $[0,1]$ . Entonces, ni siquiera es una curva continua, y mucho menos una curva de Jordan.

Ver esta respuesta relacionada .

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Keshav Srinivasan

daniel pescador

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Andrés E. Caicedo

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devin murray

jonathan y.

devin murray

Nate Eldredge

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