Trabajo en las variedades de Lorentz, más generalmente en variedades pseudo-riemannianas y aplicaciones a la relatividad general. Conozco las definiciones de campos vectoriales conformes , Killing y homotéticos en hipersuperficies riemannianas. ¿Están estas cantidades definidas de la misma manera en hipersuperficies pseudo riemannianas? ¿Cuál es el significado físico de estas cantidades?
Las definiciones funcionan para variedades riemannianas arbitrarias (no solo hipersuperficies) y se generalizan al caso pseudo-riemanniano; después de todo, son afirmaciones bastante generales sobre la derivada de Lie de algún campo tensorial.
En relatividad general, hay muchos campos vectoriales interesantes (a veces llamados colineaciones), considerados simetrías infinitesimales de estructura geométrica o cantidades físicas como tensores métricos, de curvatura y de energía-momentum, geodésicas y conos de luz.
Pueden ser interesantes por razones físicas, o simplemente técnicas para hacer las ecuaciones más manejables.
Suponiendo que no me equivoqué (sin promesas), obtenemos el siguiente mapa donde los conjuntos de campos vectoriales están relacionados por inclusión:
Killing
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+-----+-----+
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v v
matter homothetic
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+-----+-----+
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v v
affine conformal
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+-----+-----+
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v v
projective curvature
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+-----+-----+
| |
v v
Ricci Weyl
Los campos vectoriales asesinos conservan la métrica y toda la estructura derivada, incluido el tensor de energía-momento, suponiendo que se mantengan las ecuaciones de campo de Einstein. Una aplicación física sería la definición de masa de Komar para espaciotiempos con un campo vectorial Killing similar al tiempo.
Una colineación de materia es un campo vectorial que conserva la energía-momento, pero no necesariamente cualquier geometría.
Las simetrías conformes conservan los ángulos y, en el caso pseudo-riemanniano, en particular, el signo de los productos escalares, que es relevante para la estructura del cono de luz y, por lo tanto, para la causalidad.
Los campos vectoriales afines conservan las geodésicas, incluido su parámetro afín (múltiplos del tiempo propio), mientras que los campos vectoriales proyectivos no conservan necesariamente este último.
Las colineaciones de curvatura conservan el tensor de Riemann, mientras que las colineaciones de Ricci y Weyl solo conservan el tensor de Ricci y Weyl, respectivamente.
Dejaré las aplicaciones particulares a personas con más conocimientos que yo.
jerry schirmer
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