Importancia física del campo vectorial Killing a lo largo de la geodésica

En general, si$\xi^\mu$es un campo vectorial Killing en un espacio-tiempo, y si$u^\mu$es un campo tangente a lo largo de una geodésica en ese espacio-tiempo, entonces$\xi_\mu u^\mu$es una cantidad conservada a lo largo de la geodésica. (Véase, por ejemplo, la propuesta GR de Wald C.3.1).

Para ilustrar el significado físico de esto, considere una partícula que se mueve en$2$-espacio de Minkowski dimensional con métrica

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2.$$

Esta métrica admite matar vectores$\xi_{(t)} = (1,0)$y$\xi_{(x)} = (0,1)$. Se sigue que para una geodésica$(t(\lambda),x(\lambda))$con tangente$u^\mu(\lambda)=(dt/d\lambda, dx/d\lambda)$, obtenemos dos cantidades conservadas

$$\xi_{(t)}^\mu u_\mu = -\frac{dt}{d\lambda}, \qquad \xi_{(x)}^\mu u_\mu = \frac{dx}{d\lambda}$$ Si imaginamos que nuestra geodésica representa la trayectoria de una partícula de masa $m$a través del espacio-tiempo, entonces si elegimos el parámetro $\lambda$para ser la longitud del arco, que para las curvas temporales se llama tiempo propio $\tau$, es decir, si elegimos $$-1 = u^\mu u_\mu = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2$$ después $p^\mu = m u^\mu$es el cuatro-momento de la partícula, y la ecuación de conservación obtenida de $\xi_{(t)}$da la conservación de $p^t = m u^t$, que es la energía de la partícula, y la ecuación de conservación obtenida de $\xi_{(x)}$da la conservación de $p^x = m u^x$que es el momento de la partícula.

Entonces, en este contexto, los vectores Killing de la métrica dada dieron cantidades conservadas que podrían interpretarse como la energía y el momento de una partícula que se mueve libremente en un espacio-tiempo plano.