Matar vectores de la métrica de Schwarzschild

Question

Matar vectores de la métrica de Schwarzschild

Constantino

Métrica Schwarzschild exterior

d s^{2} = (1 - \frac{2 METRO}{r}) d t^{2} - (1 - \frac{2 METRO}{r})^{- 1} d r^{2} - r^{2} d θ^{2} - r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$ds^2=\Big(1-\frac{2M}{r}\Big)dt^2- \Big(1-\frac{2M}{r}\Big)^{-1}dr^2-r^2 d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Sabía que hay dos vectores Killing asociados con la métrica de Schwarzschild, $K^{(1)}=(1, 0, 0, 0)$ y $K^{(2)}=(0, 0, 0, 1)$ .

Pero, en un artículo escrito, hay cuatro vectores Killing en la métrica de Schwarzschild.

k_{m}^{(1)} = (1 - \frac{2 METRO}{r}) d_{m}^{t}

$K^{(1)}_\mu=\Big(1-\frac {2M}{r}\Big)\delta^t_\mu$

k_{m}^{(2)} = r^{2} {pecado}^{2} θ d_{m}^{ϕ}

$K^{(2)}_\mu=r^2\sin^2\theta \delta^\phi_\mu$

k_{m}^{(3)} = r^{2} (pecado ϕ d_{m}^{θ} + pecado θ porque θ porque ϕ d_{m}^{ϕ})

$K^{(3)}_\mu=r^2(\sin \phi\delta^\theta_\mu+\sin\theta\cos\theta\cos\phi\delta^\phi_\mu)$

k_{m}^{(4)} = r^{2} (porque ϕ d_{m}^{θ} - pecado θ porque θ pecado ϕ d_{m}^{ϕ})

$K^{(4)}_\mu=r^2(\cos \phi\delta^\theta_\mu-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\delta^\phi_\mu)$

correspondientes a traslaciones de tiempo y rotaciones espaciales infinitesimales.

No entendí cómo se definen los vectores Killing. ¿Por qué se encuentran de manera diferente a los libros GR clásicos? ¿Cuál es el método para obtener los vectores Killing de métrica arbitraria?

Si la métrica no depende de $x^k$ coordinar $K^\mu=\delta^\mu_k$ es un vector de matanza. Los componentes covariantes que son $K_\mu=g_{\mu\nu}K^\nu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k$ .

k_{m}^{(1)} = {gramo}_{m v} d_{k}^{v} = {gramo}_{k v} d_{m}^{v} = {gramo}_{t t} d_{m}^{t}

$K^{(1)}_\mu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k=g_{k\nu}\delta^\nu_\mu=g_{tt}\delta^t_\mu$

k_{m}^{(2)} = {gramo}_{m v} d_{k}^{v} = {gramo}_{k v} d_{m}^{v} = {gramo}_{ϕ ϕ} d_{m}^{ϕ}

$K^{(2)}_\mu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k=g_{k\nu}\delta^\nu_\mu=g_{\phi\phi}\delta^\phi_\mu$

Esto es comprensible. Pero, ¿cómo se obtienen los vectores Killing segundo y tercero? ¿Si son vectores asociados a la rotación alrededor de qué eje se realiza la rotación?

Encontré las soluciones para $\xi_\theta$ , $\xi_\phi$ de las ecuaciones de Killing para la métrica de la $2D$ esfera.

Pero, ¿cómo están eligiendo los valores arbitrarios para $A$ , $B$ , $C$ no esta claro.

spiridon_the_sun_rotator

Los vectores asesinos son soluciones a la ecuación.

\nabla_{μ} ξ_{ν} + \nabla_{ν} ξ_{μ} = 0

$\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = 0$ , que se deriva de la preservación del tensor métrico

g_{μ ν} (x + ξ_{μ} (x)) = g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}(x + \xi_\mu (x)) = g_{\mu \nu}$

Cineed Simson

El vector de tiempo Killing sería

K^{(1)} = \frac{\partial}{\partial t} .

$K^{(1)}=\frac {\partial} {\partial t}.$ Debe proporcionar referencias a ambas expresiones cuando nos pregunte por qué los dos conjuntos difieren. La diferencia puede ser un error de transcripción, condiciones especiales, un malentendido, lectura incompleta, etc.

Respuestas (2)

Matar vectores de la métrica de Schwarzschild

Los vectores asesinos son soluciones a la ecuación. $\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = 0$ , que se deriva de la preservación del tensor métrico $g_{\mu \nu}(x + \xi_\mu (x)) = g_{\mu \nu}$
El vector de tiempo Killing sería $K^{(1)}=\frac {\partial} {\partial t}.$ Debe proporcionar referencias a ambas expresiones cuando nos pregunte por qué los dos conjuntos difieren. La diferencia puede ser un error de transcripción, condiciones especiales, un malentendido, lectura incompleta, etc.

Profesor Legolasov · Answer 1

Cualquier campo vectorial que satisfaga

L_{v} {gramo}_{m v} = 0

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = 0$ con

L

$\mathcal{L}$ una mentira derivada es un campo de exterminio. Los difeomorfismos infinitesimales generados por él conservan los componentes del tensor métrico, por lo que forman un grupo de isometrías, muy parecido a

I S O (3, 1)

$ISO(3,1)$ en el espacio de Minkowski.

Ampliando la definición de la derivada de Lie,

L_{v} {gramo}_{m v} = v^{σ} \partial_{σ} {gramo}_{m v} + {gramo}_{σ v} \partial_{m} v^{σ} + {gramo}_{m σ} \partial_{v} v^{σ} .

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = v^{\sigma} \partial_{\sigma} g_{\mu \nu} + g_{\sigma \nu} \partial_{\mu} v^{\sigma} + g_{\mu \sigma} \partial_{\nu} v^{\sigma}.$

Esto ya es un tensor, por definición de la derivada de Lie. Sin embargo, podemos sustituir la derivada covariante por la derivada parcial. En las coordenadas normales, $\Gamma_{\mu \nu}^{\sigma}$ todos desaparecen, por lo que obtendremos la misma respuesta. Además, dado que ambos objetos (con derivadas parciales y covariantes) son tensores y son iguales en un marco de coordenadas, deben ser iguales en todos los marcos. Por lo tanto,

L_{v} {gramo}_{m v} = v^{σ} \nabla_{σ} {gramo}_{m v} + {gramo}_{σ v} \nabla_{m} v^{σ} + {gramo}_{m σ} \nabla_{v} v^{σ} = \nabla_{m} v_{v} + \nabla_{v} v_{m} = 0.

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = v^{\sigma} \nabla_{\sigma} g_{\mu \nu} + g_{\sigma \nu} \nabla_{\mu} v^{\sigma} + g_{\mu \sigma} \nabla_{\nu} v^{\sigma} = \nabla_{\mu} v_{\nu} + \nabla_{\nu} v_{\mu} = 0.$

Esa es la ecuación que debe satisfacer un campo vectorial Killing. Ahora todo lo que tienes que hacer es verificar que tus campos satisfagan esta ecuación.

mike piedra · Answer 2

Los vectores asesinos son solo movimientos infinitesimales que mantienen la métrica sin cambios. En otras palabras, isometrías. Los cuatro que parecen desconcertarte son la traducción del tiempo (con una normalización adicional en comparación con la original) y las tres isometrías de las 3 esferas. $r=constant$ correspondiente a girar sobre el $x$ , $y$ , y $z$ hachas Las tres rotaciones no son linealmente independientes, por supuesto, y de ellas puedes obtener isometrías de rotación sobre cualquier eje.

¿Cómo se asocian los vectores Killing con la rotación sobre $x$ , $y$ ejes derivados?
Son los vectores habituales de desplazamiento de velocidad angular: rotación sobre $z$ eje $\Rightarrow$ $(v_x, v_y, v_z)= (y,-x,0)$ ; acerca de $y$ eje $(v_x, v_y, v_z)= (z,0,-y)$ ; todo expresado en coordenadas polares.

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Constantino

spiridon_the_sun_rotator

Cineed Simson

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Profesor Legolasov

mike piedra

Constantino

mike piedra

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