¿Todos los conjuntos son conjuntos ordenados?

Un conjunto no se pide a menos que proporcione un pedido. Un conjunto por sí solo no es un conjunto ordenado.

Entonces los números naturales no son un conjunto ordenado. Los números naturales con el estándar.$<$es un conjunto ordenado. Por lo general , en el contexto de conjuntos ordenados, simplemente decir "los números naturales" implicará implícitamente "con el orden estándar". Pero si estamos siendo pedantes y estrictos al respecto, entonces debe decirse explícitamente; si no lo es, no tenemos un conjunto ordenado.

Y, por supuesto, hay muchos conjuntos sin un pedido total estándar. Como los números complejos. O los puntos de una esfera. O el módulo de los enteros$10$. A muchos de estos conjuntos se les puede dar un pedido total y, en muchos casos, incluso es bastante fácil hacerlo. Pero no funcionará bien con las estructuras estándar que tienen esos conjuntos , por lo que tiene un uso limitado. Y no hay una forma canónica de hacerlo, así que si quieres que los demás sepan de qué orden estás hablando, tienes que decir exactamente cuál es tu orden.

Y luego está la posibilidad de conjuntos a los que no se les puede dar un orden total en absoluto. Es imposible mencionar ejemplos concretos aquí, porque no se puede demostrar que ningún conjunto no se pueda ordenar, al menos en ZF.

Esto generalmente se llama orden total . Por ejemplo, cada pedido de pozo es un pedido total. Se puede demostrar que la existencia de buenos órdenes para cada conjunto es equivalente al axioma de elección ( teorema del buen orden ). La existencia de órdenes totales para cada conjunto es más débil que el axioma de elección, pero no se puede demostrar a partir de$\mathbf{ZF}$(el sistema de axiomas estándar para la teoría de conjuntos pero sin el axioma de elección) solo. Véase MO/37272 .

"No se me ocurre ningún conjunto que no tenga un orden"

Esto da fe de cuán fundamental parece ser el orden y por qué es uno de los axiomas fundamentales de la teoría de conjuntos moderna. El teorema del buen orden (equivalente al Axioma de Elección), además de ZFC , es simplemente eso; un axioma _ Una afirmación de que para cualquier conjunto existe una relación (que podría ser una relación más abstracta que la típica$>$o$<$) que ordena bien ese conjunto. No hay nada que le impida utilizar una teoría de conjuntos sin tal axioma, como hacen muchos teóricos de conjuntos.

Las respuestas a esta pregunta repasan la diferencia entre el orden total , que es a lo que se refiere Rudin, y el buen orden .

El conjunto de números complejos es un buen ejemplo de conjunto con orden indefinido. Sin embargo, puede ordenarlos dada una relación más abstracta.

Es importante tener en cuenta que ningún conjunto viene naturalmente equipado con una relación de orden. La relación es algo que generalmente se define después de que se define un conjunto. Por ejemplo, ¿cómo pides el conjunto?$\{a,7,\uparrow\}$? No hay una forma "correcta", pero puede crear una relación bien definida que ordene dicho conjunto, tal como se hizo con los números reales, etc.