Relación entre la integración impropia de Riemann y la integración de Lebesgue.

En primer lugar, esto podría suceder para el$f(x)=\sin(x^{2})$con el mismo dominio$(0,\infty).$Puedes analizarlo.

En segundo lugar, la clase de la función integrable de Riemann impropia es diferente de la clase de las funciones integrables de Riemann. De hecho,

La clase de Riemann integrable$\subset$La clase de Lebesgue integrable. Pero la clase del integrable impropio de Riemann no es comparable con la de Lebesgue. Puede interpretar esto como una propiedad inapropiada pero, debido a otras propiedades de la integral de Lebesgue, esta integración abstracta es la más exitosa. En este momento, no estoy seguro, pero tal vez haya una nueva integración abstracta que resuelva esta deficiencia.

Además, la palabra clave como "comparar a Lebesgue con Riemann" y algo así puede ayudarlo a buscar más artículos sobre este tema. Como ejemplo, puedes ver esto

Si$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$es un$\lambda$-función medible, su integral está definida por

$$\int_{\mathbb{R}} f\,d\lambda = \int_{\mathbb{R}} f^+\,d\lambda - \int_{\mathbb{R}} f^-\,d\lambda$$ dónde $f^+ = \max(f,0),f^-=-\min(f,0)$. Si $f = \sin x/x$, las integrales $\int_{\mathbb{R}} f^+\,d\lambda, \int_{\mathbb{R}} f^-\,d\lambda$no convergen ( $=\infty$), y $\infty - \infty$es indefinido.

Todavía puede asignar un valor significativo a esta integral tomando límites como la integración de Riemann impropia:

$$\int_{\mathbb{R}} f\,d\lambda = \lim_{r \to \infty} \int_{[-r,r]}f\,d\lambda$$