Demostrar que una propiedad se cumple en un espacio métrico si se cumple en un subconjunto denso

Una propiedad simple de los conjuntos densos$D$: si es un conjunto cerrado$C$contiene$D$, entonces$C$es igual a todo el espacio$X$:$D \subset C \rightarrow X = \overline{D} \subset \overline{C} = C \subset X$lo que da$C = X$.

El ejemplo que dio Nate:$g \le a$en$D$entonces esto también se mantiene$X$, sigue de inmediato:$D \subset C = g^{-1}[(-\infty, a] ]$, que es cerrado, y por lo tanto es igual a$X$.

Suponer que$(f_n)$converge uniformemente a$f$en$D$, que es denso. Esto es decir lo mismo que$(f_n)$es Cauchy en la norma uniforme cuando se restringe a$D$. Así que para todos$\epsilon >$tenemos que hay algo$N$en$\mathbb{N}$tal que$\bigcap_{n,m \ge N} \{ x : |f_n(x) - f_m(x) | \le \epsilon \}$contiene$D$, pero el último conjunto es cerrado y por lo tanto es igual a$X$(utilizando la continuidad de la$f_n$y la norma). De ello se deduce que el$(f_n)$formar una sucesión de Cauchy en todos$X$y por completitud de la norma sup converge uniformemente en$X$. Se podría decir que ser Cauchy es una "condición cerrada" y así si un conjunto denso la tiene, todos los puntos la tienen...

Quizás la caracterización más útil de los subconjuntos densos es esta: si$A \subset X$es denso, entonces para cualquier$x \in X$existe una secuencia$\{x_n\} \subset A$tal que$x_n \to x$.

Usando esto, es fácil mostrar lo siguiente: si$g : X \to \mathbb{R}$es continuo, y$g \le a$en$A$para algunos$a \in \mathbb{R}$, entonces$g \le a$en todas partes en$x$. Tomando$g$ser algo como$f_n - f_m$ayudará a abordar su segunda pregunta, que es fácilmente equivalente a la primera.