Límite de la secuencia dada por xn+1=xn−xn+1nxn+1=xn−xnn+1x_{n+1}=x_n-x_n^{n+1}

Dejar , X 1 ∈ ( 0 , 1 ) ser un número real. Para norte > 1 definir X norte + 1 = X norte − X norte norte + 1 . Entonces prueba que límite norte → ∞ X norte existe

Tenemos que demostrar que la sucesión dada { X norte } es convergente. Así que tenemos que demostrar que { X norte } es monótono y acotado.

Probé que la secuencia es monótona decreciente. Pero no puedo demostrar que está acotado a continuación. ¿Cómo puedo mostrarlo?

¿Alguna otra forma de probar que el límite existe?

0 ≤ X ≤ 1 ⟹ 0 ≤ X norte ≤ X .

Respuestas (1)

Mostramos por inducción que X norte ∈ ( 0 , 1 ) para todos norte :

El caso norte = 1 es claro.

Ahora deja norte ∈ norte y X norte ∈ ( 0 , 1 )

Entonces: X norte + 1 = X norte ( 1 − X norte norte ) . De X norte ∈ ( 0 , 1 ) obtenemos X norte norte ∈ ( 0 , 1 ) y por lo tanto 1 − X norte norte ∈ ( 0 , 1 ) .

Consecuencia: X norte + 1 ∈ ( 0 , 1 ) .

Límite de la secuencia dada por xn+1=xn−xn+1nxn+1=xn−xnn+1x_{n+1}=x_n-x_n^{n+1}
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