Demuestra que si g((xn))→lg((xn))→lg((x_n)) \rightarrow l y g((yn))→mg((yn))→mg((y_n)) \rightarrow m , entonces l=ml=ml=m

Suponer que$g: (a,b] \rightarrow \mathbb{R}$es uniformemente continua. Supongamos que ambos$(x_n), (y_n)$son secuencia en$(a,b]$que convergen a$a$. Demuestra que si$g(x_n)) \rightarrow l$y$g((y_n)) \rightarrow m$, entonces$l=m$.

Por definición, ya que$(x_n) \rightarrow a$,$\forall \varepsilon > 0$,$\exists N_0 \in \mathbb{N}$ $\forall n\geq N_0$

$|x_n-a|<\varepsilon$

Se puede hacer una declaración paralela para la secuencia$(y_n)$. Esto implica que

$|x_n-y_n|=|x_n-a+a-y_n| \leq |x_n-a|+|a-y_n| \equiv |x_n-a|+|y_n-a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Desde$g$es uniformemente continua, esto nos informa que$\forall \varepsilon>0$,$\exists \delta>0$calle$\forall x_n \in (x_n)$y$\forall y_n \in (y_n)$,

$|g(x_n)-g(y_n)|<\varepsilon$(excluimos la condición delta ya que mostramos que siempre se cumple)

Se pueden hacer condiciones similares usando cada secuencia exclusivamente

$|g(x_n)-g(x_m)|<\varepsilon$

$|g(y_n)-g(y_m)|<\varepsilon$

Luchando por descifrar los últimos pasos.