Confusión de definición de discontinuidades

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Confusión de definición de discontinuidades

limites
continuidad
Matemáticas
numeros reales
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secuencias y series

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Rudin da la siguiente definición para un límite a la derecha y un límite a la izquierda, y discontinuidades (ver imagen adjunta)

Entonces, para mostrar que una función tiene discontinuidades de tipo 2, necesito mostrar que los límites de la mano derecha y la mano izquierda no existen.

Si el $q$ en la imagen ser un $x$ ?

Si no, estoy confundido porque en la definición ya tiene el límite derecho o izquierdo igual a $q$ pero si no sé a qué es igual el límite izquierdo o derecho, ¿cómo puedo demostrar que $f(t_{n}) \not \rightarrow q$ como $n \rightarrow \infty$ pero $t_{n} \rightarrow x$

Como ejemplo tiene $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & x\text{ is rational} \\ 0 & x \text{ is irrational} \end{array}\right.$

Dice que tiene discontinuidades de tipo 2 en cada punto, por lo que los límites izquierdo y derecho no existen.

así que tomaré $\{t_{n}\} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{n}$ . Entonces $t_{n} \rightarrow 1$ . Entonces $f(t_{n}) = 0$ desde $\{t_{n}\}$ es irracional para todos $n$ . Pero no veo cómo eso no satisface la definición 4.25, ya que solo puedo tener mi $q = 0$ y mi $x = 1$ ?

Dave L Renfro

Entonces, para mostrar que una función tiene discontinuidades de tipo 2, necesito mostrar que los límites de la mano derecha y la mano izquierda no existen. --- Esto no es del todo correcto según la definición de Rudin. Su definición es una discontinuidad de tipo 2 cuando no existen AMBOS límites izquierdo y derecho, y para esto solo necesita demostrar que AL MENOS UNO de los límites izquierdo y derecho no existe (negación de "P Y Q" es "no-P O no-Q"). Por supuesto, PUEDE mostrar una discontinuidad de tipo 2 mostrando que los límites izquierdo y derecho no existen, pero NO NECESITA hacer esto para mostrar una discontinuidad de tipo 2.

Respuestas (3)

Confusión de definición de discontinuidades

Entonces, para mostrar que una función tiene discontinuidades de tipo 2, necesito mostrar que los límites de la mano derecha y la mano izquierda no existen. --- Esto no es del todo correcto según la definición de Rudin. Su definición es una discontinuidad de tipo 2 cuando no existen AMBOS límites izquierdo y derecho, y para esto solo necesita demostrar que AL MENOS UNO de los límites izquierdo y derecho no existe (negación de "P Y Q" es "no-P O no-Q"). Por supuesto, PUEDE mostrar una discontinuidad de tipo 2 mostrando que los límites izquierdo y derecho no existen, pero NO NECESITA hacer esto para mostrar una discontinuidad de tipo 2.

5xum · Answer 1

En realidad, hay dos cosas que te confunden.

Primero :

El $q$ en la imagen está perfectamente bien. Es una variable cuantificada , lo que significa que aparece en una oración de la forma "Si esta propiedad sobre $q$ es cierto, entonces esta otra cosa es igual a $q$ ."

Imagina una oración similar: si $q$ es la distancia desde los pies de una persona hasta su cabeza, entonces $q$ es la altura de esa persona.

De esa frase podemos concluir:

si $q$ es la distancia de mis pies a su cabeza, entonces $q$ es mi altura
si $q$ es la distancia desde los pies de Lebron James hasta su cabeza, entonces $q$ es la altura de Lebron James.

Las dos frases anteriores son perfectamente verdaderas . Sin embargo, no implican, de ninguna manera, que mi altura sea la misma que la altura de Lebron James.

Segundo :

Tu dices

así que tomaré $\{t_{n}\} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{n}$ . Entonces $t_{n} \rightarrow 1$ . Entonces $f(t_{n}) = 0$ desde $\{t_{n}\}$ es irracional para todos $n$ . Pero no veo cómo eso no satisface la definición 4.25, ya que solo puedo tener mi $q = 0$ y mi $x = 1$ ?

La respuesta a tu pregunta es no , no puedes tomar q . Recordar, $q$ es el límite si la propiedad enumerada en el libro es verdadera para cada secuencia $t_n$ . La propiedad es verdadera para la secuencia particular que eligió, de hecho, pero la propiedad no es verdadera para todas las secuencias, como se demuestra al tomar la secuencia $t_n = 1+\frac1n$ .

gracias por esto, tiene más sentido. Entonces, si quiero mostrar que el límite derecho o izquierdo no existe, necesito tomar dos secuencias que converjan a $x$ y luego mostrar que si les aplico la función obtengo valores diferentes?
@learningmathematics Exactamente. O bien, puede encontrar una secuencia tal que cuando aplique la función a sus valores, los valores resultantes no converjan.

Kavi Rama Murthy · Answer 2

Para que $f(x+)=q$ Debemos tener $f(t_n) \to q$ para cada secuencia $t_n$ decreciendo a $x$ . Solo estás tomando una secuencia en particular decreciendo a $1$ .

Todas las grandes respuestas y realmente útil. En general, aceptará la respuesta 5xum, ya que fue particularmente detallada.

cazador_del_infinito · Answer 3

Para mostrar que el límite correcto existe en $1$ , para cada secuencia $t_n>1$ , $t_n \to 1$ Debemos tener $f(t_n)$ debe ser convergente a un solo número.

Sin embargo, ha tomado sólo una secuencia y la ha examinado. Si consideras otra secuencia $s_n = 1 + \frac{1}{n}$ entonces $f(s_n) =1 \to 1$ , por lo que el límite derecho no existe.

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cazador_del_infinito

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