Homeomorfismo entre círculo unitario con punto eliminado a línea real.

La pregunta completa es: Definir un mapa ψ : S 1 ∖ { ( 0 , 1 ) } → R como para cada punto pag ∈ S 1 tomar la línea a través ( 0 , 1 ) y pag y definir ψ ( pag ) como la intersección de esta línea y la X -eje.

Entonces creo que quiero ψ ser el mapa ( X , y ) → X 1 − y , tomé la línea y = y − 1 X + 1 , y encontró la X valor cuando y = 0 .

Así que ahora tengo que demostrar que ψ es un homeomorfismo. Creo que después de mostrar que es biyectiva, mostrar que es continua es simplemente una cuestión de mostrar S 1 ∖ { ( 0 , 1 ) } está abierto en S 1 . Luego, usando eso, la imagen previa de los conjuntos abiertos es abierta, por lo tanto, continua. Sin embargo, tengo algunos problemas para mostrar que esta función es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectiva: Supongamos F ( X , y ) = F ( r , s ) entonces X 1 − y = r 1 − s

entonces X ( 1 − s ) − r ( 1 − y ) = 0 . De alguna manera quiero mostrar que o bien X ≠ r o y ≠ s pero no estoy viendo cómo hacer esto. Yo sé eso X 2 + y 2 = 1 y r 2 + s 2 = 1 .

Cree una función inversa en lugar de probar inyectividad y sobreyectividad. Debe quedar geométricamente claro cuál debe ser la inversa. Además, puedes pensar en triples pitagóricos, sustituciones trigonométricas de Weierstrass, etc.

Respuestas (1)

Pista:

t ↦ φ ( 2 t 1 + t 2 , t 2 − 1 1 + t 2 )

es el inverso de su mapa de R → S 1 ∖ { ( 0 , 1 ) } . Esto probará que su mapa inicial es tanto inyectivo como sobreyectivo. Tenga en cuenta que en X = ∞ , obtenemos φ ( ∞ ) = ( 0 , 1 ) pero ∞ ∉ R por supuesto.

Si desea ver cómo se obtienen estos dos mapas, suponiendo que aún no lo sepa, solo fije una línea en ( 0 , 1 ) y cambiar la pendiente para barrer R . Esto dará una correspondencia uno a uno (bicontinua) entre S 1 ∖ { ( 0 , 1 ) } y R siempre que la pendiente de la recta no sea paralela a la X -eje. Y nunca llega a ser paralelo a la X -eje a menos que la línea sea tangente al círculo en ( 0 , 1 ) .

Mientras tanto, tenga en cuenta que solo probar su función ψ es continuo no es suficiente. También debes demostrar que su inversa es continua. En este caso, φ está dado por dos polinomios cuyos denominadores nunca se vuelven cero. Entonces, φ es continua en R .

Apéndice

Más precisamente, si te preguntas cómo φ se encuentra, primero escribe la ecuación de la recta que pasa por ( 0 , 1 ) con la pendiente variable t

y − 1 = t ( X − 0 ) ⟹ y = t X + 1

quieres ver como t determina un punto en el círculo. Entonces, tienes que encontrar su intersección con el círculo unitario. Por lo tanto, su punto de intersección debe satisfacer X 2 + y 2 = 1 . Esto da

X 2 + ( t X + 1 ) 2 = 1

Ahora has encontrado una ecuación que es cuadrática en t . Entonces, encontrarás dos soluciones. Una solución es t = 0 que corresponde al punto ( 0 , 1 ) donde nuestra línea se ha fijado al círculo, y la otra solución nos da el punto que estamos buscando.

Así que solo necesito mostrar que ψ ∘ F = I ? Dónde F es su función y I es la identidad.
@AcoloredReptile Exactamente. Porque una función es biyectiva si y solo si es invertible. También, φ es obviamente continuo. Si prueba la inyectividad y la sobreyectividad por separado, aún deberá demostrar que la inversa de su función también es continua. De lo contrario, no has probado que es un homeomorfismo. Y para ser más precisos, tienes que demostrar que φ ∘ ψ = 1 y ψ ∘ φ = 1 .
Homeomorfismo entre círculo unitario con punto eliminado a línea real.
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