Demostrar que si WWW es un subconjunto abierto de YYY entonces el conjunto {x∈X:f(x)∈W}{x∈X:f(x)∈W}\{x\in X: f(x)\in W\} es un subconjunto abierto de XXX.

Suponer que F : X ⟶ Y es continuo probar que si W es un subconjunto abierto de Y entonces el conjunto { X ∈ X : F ( X ) ∈ W } es un subconjunto abierto de X .

Prueba: Asumir F : X ⟶ Y es continua y deja W ⊂ Y estar abierto.

Considere el conjunto GRAMO = { X ∈ X : F ( X ) ∈ W } .

Si GRAMO = ∅ entonces GRAMO está claramente abierto en X y hemos terminado.

De lo contrario, deja GRAMO ≠ ∅ y considerar X ∈ GRAMO .

Desde F : X ⟶ Y es continuo y F ( X ) ∈ W , W Esta abierto.

De este modo F − 1 ( W ) está abierto en X .

Por eso GRAMO = F − 1 ( W ) ∈ X .

Entonces GRAMO ⊂ X .

De este modo GRAMO es un subconjunto abierto en X .

Por lo tanto si F : X ⟶ Y es continuo y W es un subconjunto abierto de Y , entonces el conjunto { X ∈ X : F ( X ) ∈ W es un subconjunto abierto de X .

Solo me pregunto si lo hice bien o si puedo mejorar en algo. Por favor, avíseme de cualquier error o aclaración que deba hacer. Gracias.

Cuáles son X y Y ?
Diría que obviamente son espacios topológicos y, dado que el problema es de continuidad, no consideraría necesario decir eso .
Pero si X y Y son espacios topológicos esta pregunta no tiene sentido, lo que pregunta i s la definición de continuidad ¿no?
@ user247327 Pero la definición común de continuidad en espacios topológicos es exactamente "la preimagen del conjunto abierto está abierta"...
@ usuario247327 creo X y Y se supone que son espacios métricos para que podamos usar el ε - d definición en su lugar.
@Alex Vong Yo también lo diría.

Respuestas (2)

No, no es correcto:

  1. Usted escribió que “Desde F : X ⟶ Y es continuo y F ( X ) ∈ W , W Esta abierto." No: W está abierto porque estás asumiendo que está abierto.
  2. "De este modo F − 1 ( W ) está abierto en X .” ¡Eso es lo que se supone que debes probar!

No es correcto. GRAMO = F − 1 ( W ) así que cuando dices "así F − 1 ( W ) está abierto en X ", ¡no diste ninguna prueba de esta afirmación! Además, esta afirmación es exactamente... ¡lo que se te pide que pruebes!

Para demostrarlo, es necesario aplicar las definiciones de continuidad y apertura. Depende de los espacios que considere: como se dijo en los comentarios anteriores, si usa espacios topológicos generales, se sigue directamente de las definiciones. En caso contrario, deberá indicarnos si se trata de espacios métricos o...

Demostrar que si WWW es un subconjunto abierto de YYY entonces el conjunto {x∈X:f(x)∈W}{x∈X:f(x)∈W}\{x\in X: f(x)\in W\} es un subconjunto abierto de XXX.
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