Espacios métricos: equivalencia de la definición de vecindad de continuidad con la habitual. ¿No necesitamos una restricción que afirme la existencia de vecindarios?

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Espacios métricos: equivalencia de la definición de vecindad de continuidad con la habitual. ¿No necesitamos una restricción que afirme la existencia de vecindarios?

continuidad
Matemáticas
análisis real
topología general

Shintuku

De Kaplansky Teoría de conjuntos y espacios métricos p. 80:

Dejar $X,Y$ sean espacios métricos, sean $f$ ser una función $f: X \to Y$ , dejar $x_0$ ser un punto en $X$ , y deja $y_0 := f(x_0)$ . Probar $f$ es continua en $x_0$ si y solo si, para cualquier barrio $V$ de $y_0$ , existe un barrio $U$ de $x_0$ con $f(U) \subset V$ .

El autor define un barrio de $x$ como un subconjunto del espacio métrico que contiene al menos un conjunto abierto que contiene $x$ .

Tal vez no entiendo muy bien el material todavía, pero ¿no necesitamos agregar una restricción adicional al teorema que diga algo como "hay al menos un vecindario de $y_0$ ", o algo análogo? Tal vez también para $x_0$ ? Porque la demostración requiere como primera afirmación: "Sea V una vecindad arbitraria de $y_0$ ". Pero dado que la función que hemos definido es completamente arbitraria, no sabemos casi nada al respecto, por lo que en realidad podría no tener vecindarios. ¿Existe tal vez otra forma de derivar implícitamente la existencia de vecindarios a partir de lo que ya se ha dado? No estoy viendo?De la continuidad tal vez?

¡Gracias por cualquier ayuda!

Aryaman Maithani

Tenga en cuenta que dado cualquier espacio métrico

X

$X$ y

x_{0} \in X

$x_0 \in X$ , hay una vecindad trivial de

x_{0}

$x_0$ : a saber

X

$X$ .

Shintuku

@AryamanMaithani ¡Oh! ese es un punto muy importante! ¡gracias!

C al cuadrado

¿Cuál es tu definición de continuidad?

Shintuku

@CSquared

f

$f$ es continua en

x_{0}

$x_0$ si y solo si

\forall ϵ > 0 \exists δ > 0 : d (x, x_{0}) < δ ⟹ d [f (x), y_{0}] < ϵ

$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0: d(x,x_0) < \delta \implies d[f(x), y_0] < \epsilon$ , dónde

d

$d$ es la función de distancia

C al cuadrado

tenga en cuenta que su definición puede escribirse de la siguiente manera:

\forall ε > 0 \exists d > 0 : X \in B (X_{0}, d) ⟹ F (X) \in B (F (X_{0}), ε)

$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0: x\in B(x_0,\delta)\implies f(x)\in B(f(x_0),\varepsilon)$ que puede ayudar a aclarar los asuntos del vecindario, como

B (f (x_{0}), ε)

$B(f(x_0),\varepsilon)$ es un barrio de

f (x_{0})

$f(x_0)$ para cualquier

ε > 0

$\varepsilon>0$ , asimismo,

B (x_{0}, δ)

$B(x_0,\delta)$ es un barrio de

x_{0}

$x_0$ para cualquier

δ > 0

$\delta>0$ .

Shintuku

@CSquared woah, ¡eso es extremadamente útil! ¡muchas gracias!

Respuestas (1)

Espacios métricos: equivalencia de la definición de vecindad de continuidad con la habitual. ¿No necesitamos una restricción que afirme la existencia de vecindarios?

Tenga en cuenta que dado cualquier espacio métrico $X$ y $x_0 \in X$ , hay una vecindad trivial de $x_0$ : a saber $X$ .
@AryamanMaithani ¡Oh! ese es un punto muy importante! ¡gracias!
@CSquared $f$ es continua en $x_0$ si y solo si $\forall \epsilon >0 \exists \delta >0: d(x,x_0) < \delta \implies d[f(x), y_0] < \epsilon$ , dónde $d$ es la función de distancia
tenga en cuenta que su definición puede escribirse de la siguiente manera: $\forall ε > 0 \exists d > 0 : X \in B (X_{0}, d) ⟹ F (X) \in B (F (X_{0}), ε)$ $\forall\varepsilon>0\exists\delta>0: x\in B(x_0,\delta)\implies f(x)\in B(f(x_0),\varepsilon)$ que puede ayudar a aclarar los asuntos del vecindario, como $B(f(x_0),\varepsilon)$ es un barrio de $f(x_0)$ para cualquier $\varepsilon>0$ , asimismo, $B(x_0,\delta)$ es un barrio de $x_0$ para cualquier $\delta>0$ .
@CSquared woah, ¡eso es extremadamente útil! ¡muchas gracias!

Henno Brandsma · Answer 1

En cualquier espacio métrico $X$ y $Y$ , independientemente de lo que $f$ es cualquier $f(x_0) \in Y$ tiene barrios de sobra: todos bolas abiertas $B(f(x_0), r)$ dónde $r>0$ y del mismo modo para $x_0$ tenemos $B(x_0, r)$ así, en sus respectivos espacios, y sus superconjuntos. Para espacios generales siempre tenemos $X$ y $Y$ como posibles barrios, pero en espacios métricos podemos decir más.

Tenga en cuenta que a partir de este criterio general (que se cumple en todos los espacios) $\varepsilon$ - $\delta$ la continuidad sigue: para $\varepsilon>0$ tenemos eso $V =B(y_0, \varepsilon)$ es un barrio de $y_0=f(x_0)$ entonces tenemos un vecindario $U$ de $x_0$ de modo que $f[U] \subseteq V$ . Como $x_0 \in \operatorname{int}(U)$ hay algo $\delta>0$ de modo que $B(x_0, \delta) \subseteq U$ . Así que si $d(x,x_0) < \delta$ , $x \in B(x_0, \delta)$ , por eso $x \in U$ , entonces $f(x) \in V$ lo que significa $d(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$ ...

¡Gracias por la respuesta! Por cierto, si tienes tiempo: lo que me molestaba era la posibilidad de casos degenerados, pero ¿también estamos garantizados que esas bolas abiertas que mencionas que tenemos en virtud de espacios métricos tienen elementos distintos a su centro?
@shintuku No, siempre sucede eso $B(x, r)=\{x\}$ para algunos $r>0$ . Solo tenemos un punto aislado en ese caso. Cualquier función será continua en un punto aislado (en el dominio) y si una función continua $f$ se asigna a un punto aislado, será localmente constante a su alrededor. Estas son solo consecuencias de la definición.
ohhh, eso tiene mucho sentido, especialmente la aclaración sobre la continuidad de puntos aislados. ¡Muchas gracias por la ayuda!

Espacios métricos: equivalencia de la definición de vecindad de continuidad con la habitual. ¿No necesitamos una restricción que afirme la existencia de vecindarios?

Shintuku

Aryaman Maithani

Shintuku

C al cuadrado

Shintuku

C al cuadrado

Shintuku

Respuestas (1)

Henno Brandsma

Shintuku

Henno Brandsma

Shintuku

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