"tmf(n)(n)(n) es el espacio de teorías supersimétricas de campos conformes de carga central −n−nn"

Leí esta declaración intrigante en la semana 197 de John Baez el otro día, y lo he estado pensando. La publicación en cuestión es de 2003, por lo que me preguntaba si ha habido algún progreso en la formulación o incluso en la resolución de la conjetura del título.

Aquí tmf ( norte ) es el espectro de formas modulares topológicas, que define una especie de teoría de cohomología elíptica generalizada. Estos tienen una construcción muy buena de Lurie que involucra una cierta pila de módulos, por lo que esperaba que alguien pudiera usar esta construcción para dar una descripción de la teoría del campo conforme. Incluso si la declaración

tmf ( norte ) es el espacio de teorías supersimétricas de campo conforme de carga central − norte

es solo una declaración moral. Me interesa la intuición que hay detrás.

¿Podría explicar un poco cuál es la conjetura?
Desafortunadamente, la única referencia que tengo es de math.ucr.edu/home/baez/week197.html como dije. Tal vez ni siquiera merezca llamarse una conjetura, pero me gustaría entender la intuición detrás de la afirmación. La conexión entre las formas modulares y las álgebras de operadores de vértices parece muy profunda, principalmente atestiguada por las soluciones a problemas específicos, como el "monstruo moonshine". La generalidad comparativa de la declaración en el título es lo que es tan interesante.
Gracias. Solo estaba buscando una breve explicación o definición de los términos en el título y las referencias que tenga, solo como un punto de partida para quien responda.
Muchas gracias, eso es perfecto. Esperando algunas respuestas interesantes y útiles.
Es poco probable que obtenga una descripción de la teoría del campo conforme del espectro tmf. Parece más probable que cualquier funtor interesante vaya en sentido contrario, y que la cohomología elíptica exhiba algún tipo de sombra de CFT.

Respuestas (3)

Esta es una conjetura de Stoltz y Teichner (ver, por ejemplo, este documento o esta encuesta ). La mejor evidencia es que definen una noción del espacio de las teorías de campo 1D y muestran que es un espacio de clasificación para la teoría K. Uno podría sospechar que la cohomología elíptica (es decir, tmf) vendría de una dimensión hacia arriba. Si hubo una mejor motivación para ello que eso (aparte de la conexión obvia con el género Witten, etc.), lo olvidé. Miré esto por última vez alrededor de 2006, por lo que podría haber habido algún progreso en el ínterin.

Gracias. Estos se ven como el tipo de cosa que estaba buscando. Sin embargo, todavía espero que alguien pueda opinar sobre cualquier desarrollo reciente.

Además del artículo y la encuesta señalados por Aaron, que son las mejores cosas para leer, también están estas charlas:

http://online.itp.ucsb.edu/online/strings05/teichner/

http://online.itp.ucsb.edu/online/strings05/stolz/

Me encuentro con este viejo hilo ahora. Tal vez todavía valga la pena dar una actualización y más de una respuesta.

El último relato (en el momento de escribir este artículo) del enunciado conjetural en cuestión aquí aparece como Conjetura 1.17 en

(Consulte la sección 1.8 allí para una comparación explícita con los relatos anteriores que se han citado en las otras respuestas).

Como sugiere Aaron en otra respuesta, esta conjetura está motivada por dos hechos:

primero, la función de partición de la supercuerda (heterótica) -- siendo el género de Witten un homomorfismo de anillos

Ω ∙ S t r i norte gramo ⟶ METRO F ∙

desde el anillo de cobordismo de la anomalía cuántica de Green-Schwarz -espacio-tiempos libres hasta el anillo de formas modulares tiene un refinamiento teórico-homotópico a lo que se llama la orientación de cuerdas de tmf , que ahora es un homomorfismo de anillos homotópicos-conmutativos coherentes

METRO S t r i norte gramo ⟶ t metro F

al espectro tmf .

En segundo lugar, Stefan Stolz y Peter Teichner, en su trabajo anterior sobre las teorías de campos (1|1)-dimensionales y la teoría K, han demostrado que, en cierto sentido, el "espacio" de ( 1 | 1 ) Las teorías cuánticas de superpartículas tridimensionales son el espectro de la teoría K.

Esto es sugerente, porque según la teoría de la homotopía cromática hay un sentido matemático preciso en el que tmf es la versión bidimensional (fibrosa) de la teoría de la teoría K.

Por lo tanto, la Conjetura 1.17 anterior dice muy aproximadamente que el "espacio" de las teorías de supercuerdas adecuadamente bidimensionales debería "ser" t metro F .

Por el momento, parece justo decir que la conjetura sigue siendo realmente una conjetura. Lo que establece rigurosamente el artículo anterior es una redirivación del género Witten de tal manera que ahora la conjetura puede formularse con precisión.

(Durante los últimos años, gran parte de la atención en este "programa Stolz-Teichner" se ha centrado en los análogos de dimensiones inferiores de la idea general. Ha aparecido mucho trabajo sobre el caso de dimensiones inferiores de ( 0 | 1 ) -Teorías de campos dimensionales (físicamente: super-instantones, super D(-1)-branas). )

"tmf(n)(n)(n) es el espacio de teorías supersimétricas de campos conformes de carga central −n−nn"
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v