Chern-Simons y la dependencia del encuadre...

En su artículo sobre el polinomio de Jones , Witten introdujo dos tipos de encuadres:$3$-estructura múltiple y estructura de nudos. El primero está conectado a las clases de homotopía de banalización de la fibra tangente de la$3$-variedad, la segunda está conectada a las clases de homotopía de las banalizaciones del haz normal al nudo. Él explica el segundo punto aquí (en la parte inferior de la página 71).

Witten comenta sobre la analogía entre estos dos encuadres en la nota al pie de la página 364 del artículo de Witten-Jones.

La razón básica por la que tuvo que introducir las dependencias de encuadre es que buscaba obtener invariantes topológicas; cuando no lo hizo, descubrió que puede intercambiar la dependencia métrica enmarcando$3$-dependencia de entramado múltiple en el primer caso y dependencia de difeomorfismo de nudo por dependencia de entramado de nudo en el segundo caso.

Para el primer caso, cuando calculó la función de partición en la aproximación semiclásica de la integración de trayectorias alrededor de un campo de norma de fondo, obtuvo una expresión dependiente de la$\eta$invariante, que aparece siempre que una función de partición de un operador de primer orden (tipo Dirac) (porque el término de fluctuación es lineal en las derivadas). El$\eta$invariante es dependiente de la métrica y Witten se deshizo de esta dependencia métrica con el siguiente truco, primero escribió:

$$\eta(A) = \eta_{\mathrm{grav}} + (\eta(A) -\eta_{\mathrm{grav}} )$$ El segundo término es invariante métrico, donde$\eta_{\mathrm{grav}}$es la gravitacional$\eta$invariante calculado a partir de una conexión de espín$\omega$. Luego añadió a mano un Chern-Simons gravitacional$I(\omega)$para obtener un factor previo: $$\eta_{\mathrm{grav}} + \frac{1}{12\pi} I(\omega)$$ El prefactor anterior es independiente de la métrica pero depende del encuadre.

En el caso de los nudos, la función de correlación depende de los números de entrecruzamiento de los nudos que son benignos pero también de los números de autoenlace que son ambiguos. Hay esquemas de regularización con resultados finitos, pero no son invariantes de difeomorfismo. Aquí, Witten regularizó la integral autoligable eligiendo un nudo ligeramente desplazado. El nudo desplazado no es único; el resultado depende de la clase de trivialización de homotopía del paquete normal del nudo. El resultado es invariante del difeomorfismo pero dependiente del encuadre del nudo.

Ahora, para su pregunta sobre el significado físico de la dependencia de las trivializaciones. Una trivialización de un paquete se define por sus funciones de transición entre gráficos. Estas funciones de transición no son únicas; son cociclos Čech que se pueden modificar agregando cofronteras; estas son solo transformaciones de calibre. Di ejemplos para estos objetos en esta
respuesta . Su propiedad de calibre sugiere que debemos tratarlos como campos de calibre de fondo (no están integrados en la integral de trayectoria). Por lo tanto, diferentes banalizaciones son equivalentes a diferentes antecedentes. La mecánica cuántica nos dice que corresponden a cuantificaciones no equivalentes, y sabemos que estas cuantificaciones no equivalentes están destinadas a aparecer como en el caso del efecto Aharonov-Bohm.