Generalización supersimétrica del modelo bosónico σσ\sigma en QM

Antes de entrar en detalles, déjame decirte que este tipo de acciones describen la conexión más profunda entre la geometría y la física y las generalizaciones de este tipo de teorías todavía están bajo investigación activa incluso hoy.

El lagrangiano describe$N=1$mecánica cuántica supersimétrica en una variedad de Riemann

La parte bosónica de este Lagrangiano es el término cinético de una partícula que se mueve en una variedad de Riemann.$\mathcal{M}$tener una métrica$g$. Como es bien sabido, las trayectorias de las partículas son las geodésicas de la variedad. Las funciones$\phi^i$son solo las coordenadas en la variedad.

Las partes fermiónicas del Lagrangiano hacen que el Lagrangiano sea invariante bajo las transformaciones (N=1 supersimetría):

$$\delta \phi^i =\epsilon \bar{\psi}^i$$

$$\delta \psi^i = -i \gamma^0 \dot{\phi}^i \epsilon - \Gamma^l_{jk} \bar{\epsilon} \psi^j \psi^k$$

Consulte el siguiente artículo de Luis Alvarez-Gaume',

El operador de supersimetría se puede escribir en términos de los momentos canónicos:

$$\pi_i = g_{ij} \phi^j$$

como:

$$Q= i \pi_i \bar{\psi}^i - \gamma^0 \Gamma_{ijk} \bar{\psi}^i \psi^j \psi^k$$

Se puede verificar fácilmente que este operador genera la transformación de supersimetría correcta dados los corchetes canónicos de Poisson:

$$\{\phi^i, \pi_j\} = \delta^i_j$$

$$\{\psi^i, \psi^*_j\} = g_{ij}(\phi)$$

La inclusión de las coordenadas fermiónicas en el Lagrangiano da giro a la partícula que se mueve en la variedad Riemanniana. Este hecho fue descubierto por Berezin y Marinov en 1975, consulte su artículo original (consideran el caso del espacio-tiempo plano).

Lo que es más importante, cuando la teoría está cuantizada, entonces si agregamos a las reglas canónicas de cuantización

$$\pi_i \rightarrow i \frac{\partial}{\partial \phi^i}$$

reglas canónicas de cuantización para las coordenadas fermiónicas

$$\psi^i \rightarrow \gamma^i$$

es decir, cuantice el álgebra de Grassmann a matrices de Dirac o álgebra de Clifford (no se confunda con las matrices gamma en la acción clásica que deben tratarse como coeficientes numéricos), luego el operador de supersimetría se convierte en el operador de Dirac (en espacio curvo). Esta es la razón por la cual esta acción describe una partícula que gira.

Además, el cuadrado del operador de supersimetría es el hamiltoniano de Dirac:

$$QQ^{\dagger}+Q^{\dagger}Q = H = \pi_i \dot{\phi}^i + i g_{ij} \bar{\psi}^i \dot{\psi}^j - L$$

El término de cuatro fermiones expresa el hecho de que en el espacio curvo, el hamiltoniano de Dirac difiere del hamiltoniano escalar. En geometría diferencial, este hamiltoniano de Dirac es el laplaciano de las formas.

Una de las aplicaciones importantes de este tipo de acciones es que se utilizan para proporcionar pruebas mecánicas cuánticas de los diversos teoremas de índice.

Ahora bien, no es difícil pensar en las siguientes generalizaciones. Si la mecánica cuántica supersimétrica en$0+1$dimensiones describe una partícula giratoria, luego un modelo sigma supersimétrico en$1+1$dimensión describirá una cuerda que gira. De hecho, Witten usó esta observación para calcular el índice del operador de Dirac en un espacio de bucle.

Uno puede pensar en las partículas como sondas para estudiar la geometría y la topología de los espacios en los que están confinadas para moverse. Una partícula clásica se puede utilizar para estudiar las geodésicas. Tras la cuantificación, se puede obtener más información, por ejemplo, las energías que constituyen el espectro del Laplaciano pueden dar información topológica y geométrica. Cuando se le da un giro a la partícula, se puede deducir aún más información topológica debido a estos teoremas de índice, por ejemplo, las partículas giratorias pueden ver agujeros y manijas en la variedad.

Específicamente, el modelo bajo consideración se puede usar para probar el teorema de Atiyah-Singer para el índice del operador de Dirac (la diferencia entre el número de modos cero de$Q$y$Q^\dagger$) en una variedad de Riemann y evaluar el resultado mediante la integral de trayectoria de la función de partición. Consulte el siguiente artículo de Friedan y Windey

$$ind(Q) = \int \mathcal{D} \phi \mathcal{D} \psi e^{i \int_{PBC} L dt}$$

(PBC denota condiciones de contorno periódicas) Los modos cero del hamiltoniano de Dirac son solo las formas armónicas que generan el complejo de-Rham de la variedad.

Finalmente, si reemplazamos la partícula por una cuerda todavía podemos sondear mucha más información topológica y geométrica sobre la variedad.