¿De dónde viene la "supersimetría" en la prueba de Witten de las desigualdades de Morse?

TL;DR: Es el producto cuña $\wedge$y la derivada/diferencial exterior $d$(que al cuadrado es cero$d^2=0$) que dan lugar a los elementos impares de Grassmann y la supersimetría .

Más concretamente, Ref. 1 primero escribe un álgebra SUSY (no relativista) ${\cal A}$

$$\tag{10} \{Q_1,Q_1\}_+~=~2H~=~\{Q_2,Q_2\}_+, \qquad \{Q_1,Q_2\}_+~=~0,$$

atravesado por dos elementos impares de Grassmann$Q_i$y un elemento par de Grassmann$H$,

$$\tag{9} Q_1 ~:=~d+d^{\ast}, \qquad Q_2 ~:=~i(d-d^{\ast}), \qquad H~:=~\Delta~=~\{d,d^{\ast}\}_+.$$

Aquí$d^{\ast}\equiv\delta$es el codiferencial (= adjunto del diferencial exterior$d$) y$\Delta$es el operador de Laplace-de Rham en formas exteriores.

El álgebra SUSY relevante${\cal A}_t$es una versión retorcida/conjugada de la ec. (9) y (10), donde$d$y$d^{\ast}$se reemplazan con

$$\tag{11} d_t ~:=~ e^{-ht}de^{ht}, \qquad d_t^{\ast} ~=~ e^{ht}d^{\ast}e^{-ht},$$

respectivamente. Aquí$h$es una función de Morse (de valor real), y$t\in\mathbb{R}$un parámetro real. Ver ref. 1 para más detalles.

Referencias:

1. E. Witten, Supersimetría y teoría de Morse, J. Diff, Geom. 17, (1982) 661 ; Capitulo 2.