Medir el potencial sobre S4S4\mathbb{S}^4 frente a R4R4\mathbb{R}^4

Mediante proyección estereográfica $\mathbb R^n$se puede asignar a$S^n$menos un punto Si$\mathbb R^n$se compacta al incluir un "punto en el infinito", el mapa es a la totalidad de$S^n$.

Lo siguiente es para$\mathbb R^2$y$S^2$porque son más fáciles de dibujar, pero se generaliza a$\mathbb R^n$y$S^n$si escribes las transformaciones.

Coloque una esfera 2 en el espacio tridimensional euclidiano con su "polo sur" en el origen y deje que el plano tangente en este punto sea el$xy$-avión. para cada punto$P$en el$xy$-plano, dibujar una línea desde$P$al polo norte de la esfera (imagen de Wikimedia Commons ):

La línea cortará la esfera exactamente en un punto, y cada punto de la esfera excepto el polo norte corresponde a un punto en el plano. Así obtenemos un mapa entre$\mathbb R^2$y$S^2$menos un punto Si incluimos un "punto en el infinito", se enviará al polo norte.

Se puede demostrar que este mapeo es conforme, es decir, conserva los ángulos. Por lo tanto, para cualquier ecuación invariante conforme (es decir, que depende solo de los ángulos entre los vectores) podemos verla igualmente bien como una ecuación en$\mathbb R^n$o en$S^n$.

El "punto en el infinito" puede complicar esto porque uno típicamente tiene algunas condiciones de contorno en el infinito para el$\mathbb R^n$-teoría y uno necesita considerar cómo transferirlos a la$S^n$teoría. Esto puede depender de la topología de las soluciones, pero estoy seguro de que eso es lo que su libro le enseñará.