Giros topológicos de la teoría de calibre SUSY

Algunos detalles del tercer giro se pueden encontrar en la sección 6 de la Ref. 1. Las ecuaciones BPS corresponden a una versión no abeliana de las ecuaciones monopolares consideradas por Witten en la Ref. 2. Algunos aspectos de esta teoría del campo topológico se consideraron en la Ref. 3, generalizando el análisis de la Ref. 2 al caso no abeliano.

En cada uno de los tres giros topológicos de$N=4$Yang-Mills supersimétricos en 4d, el conjunto de campos bosónicos contiene un campo de calibre y dos escalares reales (al igual que en el giro de$N=2$Yang-Mills supersimétrica que da la teoría de Donaldson-Witten). En los giros respectivos, los cuatro grados de libertad bosónicos restantes en el$N=4$el supermultipleto se ensambla en (i) una forma escalar y una autodual de dos formas, (ii) una forma única, (iii) dos espinores quirales. (Por supuesto, todos los campos se valoran en la representación adjunta del grupo de calibre). Twist (i) da la teoría de Vafa-Witten de la Ref. 4. Twist (ii) es el primero señalado por Yamron en Phys. Letón. B213 (1988) 325-330, considerado por Marcus en Ref. 5, y más recientemente por Kapustin y Witten en el contexto de las Langlands geométricas. Twist (iii) es el mencionado en el párrafo anterior.

En un compacto Kähler de cuatro colectores$X$con$b_2^+ (X) > 1$, creo que la estrecha analogía entre los giros (i), (iii) y la teoría de Donaldson-Witten se basa en un teorema de desaparición similar al utilizado en la sección 3 de la Ref. 2 en el caso abeliano de torsión (iii). La implicación es que todas las soluciones de las ecuaciones BPS resultantes de los giros (i) y (iii) corresponden a instantes en$X$(con los cuatro escalares torcidos iguales a cero).

Twist (ii) es un poco más sutil en el sentido de que en realidad da lugar a una familia de teorías de campo topológicas, con cada miembro etiquetado por un punto en${\mathbb{CP}}^1$. Esto es así porque, hasta una escala general irrelevante, se puede definir un operador BRST topológico a partir de cualquier combinación lineal compleja de las dos supercargas escalares que sobreviven a este giro. Para citar a Witten; "no hay equivalencias triviales entre esta familia de teorías topológicas de campos, solo equivalencias interesantes que provienen de dualidades". En ciertos casos especiales, las soluciones de las ecuaciones BPS se pueden considerar como conexiones complejas planas del conjunto de calibres (p. ej., como en la Ref. 5) en lugar de instantenes.

Referencias:

1. C. Lozano, Duality in Topological Quantum Field Theories , arXiv:hep-th/9907123 .
2. E. Witten, "Monopolos y cuatro variedades", arXiv:hep-th/9411102 , Math. Res. Letón. 1 (1994) 769-796 .
3. JMF Labastida & M. Mariño, "Monopolos no abelianos en cuatro variedades", Nucl. física B 448 (1995) 373-398 , arXiv:hep-th/9504010 .
4. C. Vafa, E. Witten, "Una fuerte prueba de acoplamiento de$S$-dualidad", Nucl. Phys. B 431 (1994) 3-77 , arXiv:hep-th/9408074 .
5. N. Marcus, "La otra torsión topológica de$N = 4$Yang-Mills", Nucl. Phys. B 452 (1995) 331-345 , arXiv:hep-th/9506002 .

El artículo de Kapustin-Witten

https://arxiv.org/abs/hep-th/0604151

dice (en la página 17) que dos de los tres giros están relacionados con la teoría de Donaldson:

Dos de las teorías distorsionadas, incluida una que se investigó en detalle en [45: Vafa Witten], son muy análogas a la teoría de Donaldson en el sentido de que conducen a invariantes instantáneos que, como los invariantes de Donaldson de cuatro variedades, se pueden expresar en términos de las invariantes de Seiberg-Witten

Por Vafa-Witten, quiero decir

https://arxiv.org/abs/hep-th/9408074

El giro menos estudiado entre los tres fue estudiado por Neil Marcus.

https://arxiv.org/abs/hep-th/9506002

pero no estoy seguro de si todos en ese campo piensan que el documento es correcto.