Buena pregunta. Intentaré responderla desde algunas perspectivas, comenzando con la más simple (pero más ondulada a mano) y pasando a la más complicada (pero rigurosa).

Un espacio análogo más simple

Probablemente ya sepas que puedes mapear la esfera$S^2$con coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$– básicamente latitud y longitud. Pero estas son malas coordenadas de la esfera; obtienes singularidades en los polos norte y sur. Bueno, resulta que$\theta$y$\phi$son en realidad buenas coordenadas para un cilindro:$\theta \in [0, \pi]$es solo la altura en el cilindro, y$\phi \in [0, 2\pi)$es el ángulo alrededor del cilindro. Pero luego tienes que mapear este cilindro en la esfera. Y para hacer eso, básicamente tienes que pellizcar la parte superior e inferior del cilindro hasta los puntos (los polos norte y sur).

Ahora, dando un paso atrás, podemos ver que esto es como su situación. Imagina que nos preguntamos por qué$S^1 \times S^1$no es lo mismo que$S^2$. Bueno, puedes mapear$S^1 \times S^1$sobre$S^2$como sigue.$S^1 \times S^1$es un toro. Aprieta las paredes del toro entre sí hasta que tengas un cilindro. Luego pellizque la parte superior e inferior del cilindro hacia abajo en puntos.

Pero deberías sentir que has hecho algo irreversible aquí. Todas estas operaciones de apretar y pellizcar realmente cambian la estructura del espacio con el que estás tratando.

(Como señala Selene en los comentarios, lo que hemos hecho aquí se conoce como suspensión en topología, donde esta es una de las formas clásicas de formar un nuevo espacio topológico a partir de uno más simple. Y esta idea de apretar/pellizcar/ aplastar se conoce como tomar el cociente ).

Argumento intuitivo

Su intuición de que existen "restricciones" para$SO(3)$es correcto. Para ser más precisos, puedes llegar a$SO(3)$de$S^1 \times S^1 \times S^1$, pero solo "identificando" conjuntos de puntos en este último. Por "identificar", nos referimos a hacer dos puntos el mismo punto.

El primer paso es tomar uno de tus círculos.$S^1$e identificar puntos uno frente al otro para darle solo un intervalo $I$. Puede que no esté explicando este testamento, pero es una operación simple que puedes visualizar fácilmente. Simplemente tome un círculo en el plano y luego reduzca sus lados hacia abajo para que el$x$coordenada va a cero (aplastar sus lados hacia adentro).

Ahora, básicamente tienes el espacio de los ángulos de Euler . Esta operación de aplastamiento es lo que hace que la del medio$\beta$solo rango en$[0, \pi]$, a diferencia de los otros dos ángulos que en realidad son círculos con coordenadas en$[0, 2\pi)$. Pero sabemos que los ángulos de Euler son malas coordenadas para$SO(3)$. En concreto, tenemos bloqueo de cardán . Así que para llegar al espacio real de$SO(3)$, debe observar esas singularidades coordinadas, que se encuentran en los extremos de su intervalo$I$. Cada extremo parece$S^1 \times S^1$. Pero en realidad son solo$S^1$, por lo que también debe colapsarlos.

Nuevamente, todas estas identificaciones son irreversibles, por lo que realmente está cambiando la topología de su espacio. Básicamente, puedes mapear$(S^1)^3$sobre$SO(3)$, pero no de una manera agradable uno a uno; Realmente has cambiado el espacio.

Perspectiva puramente matemática

Desde un punto de vista formal, puede probar que son espacios diferentes con bastante facilidad observando sus propiedades de grupo (como lo señala ACuriousMind) o sus propiedades topológicas.

teoría de grupos

El producto directo de los grupos se define de manera bastante simple, como el producto cartesiano de los dos conjuntos, pero luego define el producto del grupo como los productos del grupo original que actúan por sí solos. Desde el grupo circular$U(1)$(que es lo que realmente querías decir con$S^1$) es conmutativo, el grupo$U(1) \times U(1)$también es conmutativo, y por lo tanto todo$U(1) \times U(1) \times U(1)$es conmutativo. Pero probablemente también sepas que$SO(3)$no es conmutativo.

Topología

También puede ver que estos puntos son diferentes al observar sus grupos fundamentales . Tenemos$\pi_1(S^1) \approx \mathbb{Z}$, y de la propiedad del producto de los grupos fundamentales, esto significa$\pi_1(S^1 \times S^1 \times S^1) \approx \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}^3$. Además, dado que el espacio proyectivo real $\mathbf{RP}^3$es topológicamente igual a$SO(3)$, tenemos $\pi_1(SO(3)) \approx \pi_1(\mathbf{RP}^3) \approx \mathbb{Z}_2$, que es el grupo cíclico con solo dos elementos. Dado que el grupo fundamental es un invariante topológico, esto prueba que los dos espacios son topológicamente distintos.

Cada círculo-grupo$S_1$es una rotación en$\mathbb R^2$. Debido a que las rotaciones en los planos xy, xz e yz generan SO(3), uno podría pensar que si obtiene una sola copia para cada una de esas rotaciones del plano, esto dará como resultado SO(3). Sin embargo, en SO(3) el orden de los que generan rotaciones es importante, mientras que en$S_1^3$usted no define el orden exacto de rotación.

Solo dices: "Rotar en xy, xz e yz"

mientras que en SO (3) dices, por ejemplo: "Rotar en xy luego en el nuevo plano xz y luego en el nuevo plano yz"

cambiar el orden cambiará el resultado.

Un grupo generado por algunos de sus subgrupos, incluso teniendo intersecciones triviales (que no es el caso en su ejemplo), no permite sacar conclusiones muy generales sobre su estructura de producto si no tiene en cuenta sus relaciones de conmutación.

El ejemplo más simple es el grupo de las simetrías de un triángulo equilátero: éste es generado por el subgrupo$S$de reflexiones sobre un eje fijo de simetría, y el subgrupo$R$de rotaciones. Sin embargo, no es isomorfo a$S\times R$, el producto de dos grupos cíclicos, como puedes comprobar fácilmente porque una reflexión no trivial y una rotación no trivial no se conmutan.

Es un teorema que un grupo generado al conmutar subgrupos con intersección trivial es un producto directo. Cuando los subgrupos no conmutan, esto puede generalizarse hasta cierto punto a los productos semidirectos.