Bilineales en representación adjunta

Question

Bilineales en representación adjunta

Física
espinores
teoría de grupos
ecuación de dirac
teoría cuántica de campos
representaciones de grupo

c y f

A continuación hay dos declaraciones de mis notas y estoy tratando de verificarlas explícitamente. En ambos casos se supone que los campos se transforman bajo la representación fundamental de $O(N)$ -

--'El término cinético para un espinor de Dirac es invariante bajo el grupo de simetría $U(N) \otimes U(N)$ '.

Primero consideré el caso de un espinor de Weyl. Esto tiene un término cinético. $i \bar \phi_R \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \phi_R$ y si $\phi_R \rightarrow U \phi_R$ entonces $i \bar \phi_R \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \phi_R \rightarrow i\phi^{\dagger}_R U^{\dagger} \gamma_0 \gamma^{\mu} \partial_{\mu} U \phi$ . Porque $U$ y las matrices gamma actúan en diferentes espacios, ¿puedo cambiar el $U$ hacia $U^{\dagger}$ y luego usando $UU^{\dagger}=1$ obtener el resultado? El $U(N) \otimes U(N)$ para los espinores de Dirac se produce al descomponer un espinor de Dirac en sus componentes izquierda y derecha, cada uno de los cuales se transforma en una 'representación fundamental de mano izquierda' o 'representación fundamental de mano derecha', por lo que podría escribir el grupo de simetría como $U_L(N) \otimes U_R(N)$ (correcto si está equivocado).

--'Si $T_a$ son los generadores de $O(N)$ , los bilineales $\phi^T T^a \phi$ transforme de acuerdo con la representación adjunta.'

Me pregunto si los generadores siempre se transforman en la representación adjunta. Leí aquí en otro hilo que la representación adjunta puede considerarse como la representación anclada en la identidad, por lo que si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esta afirmación, sería genial.

Respuestas (2)

Bilineales en representación adjunta

Cosmas Zachos · Answer 1

Cosmas Zachos

Sí, la primera parte de su pregunta es apreciada y respondida acertadamente. El término cinético del fermión se divide en dos partes independientes que involucran a los espinores de Weyl izquierdo y derecho respectivamente, por lo que cada uno es independiente bajo una U (N) separada como anotaste.

La segunda cuestión es una cuestión de lenguaje. Un generador es una matriz con un índice adjunto, un aquí, que abarca la dimensión del álgebra de Lie, tan "universal" según su pregunta; y dos índices, cada uno de los cuales corresponde a su representación, por ejemplo, i,j , los índices de matriz, que oscilan sobre la dimensión de esa representación particular. Es un operador de la representación, actuando sobre vectores de la misma, como su φ . Si su φ está en el fundamental, por ejemplo, T actuará sobre él como $\phi_i\mapsto T^a_{ij} \phi_j$ , todo en lo fundamental. Al puntear esto con otro vector, φ producirá un escalar en el fundamental, su expresión, con un índice suelto a del adjunto, entonces, luego un vector en el adjunto. Siempre en adjunto, independientemente de con qué irrep φ se haya partido, siempre y cuando se hayan utilizado las matrices de representación adecuadas para ese generador.

Para rotar este vector bajo O(N), tendrás que actuar sobre él con las constantes de estructura del álgebra de Lie, que son los operadores T en el adjunto, entonces, análogamente, $\phi^T T^a \phi\mapsto i f_{abc}~\phi^T T^c \phi$ . Por ejemplo, para O(3) los generadores son las conocidas matrices vectoriales de espín $i\epsilon_{abc}$ s.

c y f

¡Gracias por tu respuesta! Entonces, ¿los generadores siempre se transforman bajo las constantes de estructura? - es decir, ¿los generadores siempre se transforman bajo la representación adjunta? he visto la ecuacion

{tu}^{†} T_{i} tu = R_{i j} T_{j}

$u^{\dagger} T_i u = R_{ij} T_j$ dónde

u

$u$ es un elemento de un grupo sube mucho.

Cosmas Zachos

Bueno, si quieres decirlo así: La etiqueta del generador siempre se transforma en el adjunto, por las constantes de estructura. En la relación que escribiste, en cualquier repetición, estás viendo una transformación de similitud de un generador, donde las u son exponenciales de generadores, exp(i a.T ). La acción de estas exponenciales en T es, de hecho, adjunta, por lo que su expresión es Tj -i[ aT ,Tj] +... por lo tanto, solo una rotación de los índices J. Aquí, las j son adjuntas y solo se transforman; los otros dos índices irrep solo sirven en las multiplicaciones de matrices.

Cosmas Zachos

Cambiaste los índices y caí en la trampa, para ambiguarlos al máximo. En notación adecuada consistente con su pregunta y mi respuesta, mi respuesta anterior dice:

u^{†} T_{a} u = e^{- i θ \cdot T} T_{a} e^{i θ \cdot T} = e^{- i a d θ \cdot T} T_{a} = T_{a} - i [θ \cdot T, T_{a}] + . . . = R_{a b}^{θ} T_{b}

$u^\dagger T_a u= e^{-i \theta\cdot T} T_a e^{i\theta\cdot T}= e^{-i{\mathrm ad} \theta\cdot T} T_a= T_a -i [\theta\cdot T, T_a]+...=R^\theta _{ab} T_b$ .

c y f

¡Gracias! Mi última pregunta es ¿cuándo usaría la ley de transformación?

T_{a}^{'} \to u^{†} T_{a} u

$T_a' \rightarrow u^{\dagger}T_a u$ para generadores? Como por ejemplo, en

S U (2)

$SU(2)$ las matrices de Pauli que comprenden la representación fundamental no se transforman.

Cosmas Zachos

Este no lo entendí: en el eqn justo encima de su pregunta, cierto para absolutamente todas las representaciones, las matrices de Pauli reducidas a la mitad hacen exactamente eso:

T_{a} = σ^{a} / 2

$T_a=\sigma^a/2$ , y usando la representación explícita de la exponencial de ellos encuentras la fórmula de rotación exacta para

σ^{a}

$\sigma^a$ .

Cosmas Zachos

Llevar

σ_{2} / 2

$\sigma_2/2$ para

T_{a}

$T_a$ , y

u = \exp (i θ σ_{1} / 2)

$u=\exp(i\theta \sigma_1 /2)$ . Encuentras fácilmente

σ_{2} \to \cos θ σ_{2} + \sin θ σ_{3}

$\sigma_2\to \cos\theta \sigma_2+ \sin\theta \sigma_3$ , solo la rotación correcta del "vector" 2 alrededor del eje 1.

TLDR

Un caso en el que usaría la ley de transformación es al construir invariantes de

O (N)

$O(N)$ . En la práctica, normalmente puede construir invariantes por inspección, simplemente contrayendo índices para que varios factores de la matriz se cancelen. (En general, puede obtener invariantes simplemente promediando funciones sobre el grupo de simetría). También usaría la ley de transformación si quisiera promover la

O (N)

$O(N)$ simetría global a una simetría local.

c y f

@CosmasZachos: Ya veo, creo que lo que quería decir es que en la transformación del bilineal

ϕ^{T} T_{a} ϕ

$\phi^T T_a \phi$ Debería transformar o bien el

T_{a}

$T_a$ o el

ϕ

$\phi$ 's pero no ambos al mismo tiempo? Así que podría transformar el

T_{a}

$T_a$ 's según la representación adjunta o el

ϕ

$\phi$ 's de acuerdo con la representación fundamental? ¿Y el resultado sería el mismo? Básicamente, la pregunta surgió de lo que leí en mi otro hilo aquí: physics.stackexchange.com/questions/248974/…

Cosmas Zachos

Sí, el resultado sería el mismo: intercalar la ecuación anterior por φ s: transformarlos equivale a rotar los T s. Para SU (2) según el artículo de WP, puede realizar la rotación exacta, prácticamente en todos los órdenes, explícitamente, sin necesidad de restringir a ángulos pequeños.

TLDR · Answer 2

(I) Suponiendo que hay $N$ fermiones distintos en su Lagrangiano (por ejemplo, quarks en el modelo estándar), el término cinético tendrá el $U(N)\times U(N)$ simetría. Sin embargo, esta simetría se rompe por el término de masa, que acopla fermiones con diferentes manos.

(II) Si $V$ es la representación fundamental de un grupo de Lie (con representación dual/conjugada $V^*$ ), los generadores se pueden identificar como un subespacio de $V\otimes V^*$ . Si $g$ es un elemento del grupo de Lie, entonces $g$ 'actúa sobre' $V\otimes V^*$ como sigue: $g\cdot (v\otimes \omega)=(U(g)v)\otimes (U(g)' \omega)=U(g)v\otimes \omega U(g^{-1})$ . (A menudo es posible elegir una representación unitaria, de modo que $U(g^{-1})=U(g)^\dagger$ ).

[Nótese que la representación tensorial $V\otimes V^*$ es reducible, y sólo contiene la representación adjunta como subrepresentación].

Ahora resulta que una gran clase de grupos de Lie se pueden expresar localmente como la exponencial de algún elemento en el espacio tangente cerca de la identidad: es decir

tu (gramo) = Exp (- i A_{a} (gramo) τ^{a}),

$U(g)=\exp(-iA_a(g)\tau^a),$ dónde

A_{a} (g)

$A_a(g)$ son algunos

g

$g$ coeficientes dependientes (coordenadas locales para el grupo de Lie), y

τ^{a}

$\tau^a$ son los generadores. La exponencial se interpreta como una serie de potencias, cuando es sensible (cuando

V

$V$ es de dimensión infinita, como en la mecánica cuántica, es típico especificar que el espectro de

A_{a} τ^{a}

$A_a\tau^a$ está acotado desde abajo, por lo que se puede utilizar la continuación analítica).

Estas coordenadas locales para el grupo de Lie implican que la acción de grupo definida anteriormente induce una acción del espacio tangente cerca de la identidad (es decir, el álgebra de Lie asociada con el grupo): $\mathcal A \cdot v\otimes \omega=[\mathcal A, M_{v\otimes\omega}]$ , dónde $M_{v\otimes\omega}$ es la 'matriz' asociada con $v\otimes \omega$ .

(Anexo 'trivial' (en el sentido común): la razón de los términos de orden superior en la expansión de la serie de potencias de $U(g)$ no dan representaciones adjuntas alternativas del álgebra de Lie es esencialmente una especie de 'efecto de memoria', donde el término lineal interfiere con componentes de orden superior).

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TLDR

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Número de componentes de un espinor

¿Cómo probar (γμ)†=γ0γμγ0(γμ)†=γ0γμγ0(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) representación de SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\oveces SU(2)

¿Por qué representaciones en lugar de solo grupos?

Una relación de completitud más general para los espinores de Dirac

Naturaleza de los campos en QFT

(A,B)(A,B)(A,B)-Representación del Grupo Lorentz: Funciones coeficiente de campos

Confusión sobre el término de masa de Dirac

¿El operador de creación/aniquilación conmuta con los espinores?

¿Cuál es la representación en cuatro dimensiones de los generadores SU(2)SU(2)SU(2)?