Tiempo que tarda una partícula en movimiento browniano en alcanzar un punto en un volumen

Primera observación, el tiempo de golpe promedio es finito porque el volumen es finito. Nada de lo que escribo tendría sentido en un sistema infinito.

Consideremos que el objetivo es una bola de radio$a$en el centro de la esfera y llamemos$T(\vec r)$el tiempo de impacto promedio para una partícula browniana que comienza en la posición$\vec r$desde el origen$T(\vec r)$depende solo de$r=\|\vec r\|$. Considere ahora un movimiento browniano$\vec B$durante un corto tiempo$\mathrm dt$y calcule la variación del tiempo de golpeo

$$\mathrm dt=T(\vec r)-T(\vec r+\vec B_{\mathrm dt}).$$ Usa la expansión de Taylor en coordenadas esféricas del lado derecho $$\mathrm dt=-\vec\nabla T(\vec r)\cdot\vec B_{\mathrm dt}-\frac12\vec B_{\mathrm dt}\cdot H_T(\vec r)\cdot \vec B_{\mathrm dt}$$ dónde $H_T$es la matriz hessiana de $T$que contiene sólo un elemento distinto de cero igual a $\frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_r T(r))$en la diagonal Tomando el promedio de todas las realizaciones del movimiento browniano, se obtiene $$\mathrm dt=-\frac12\frac1{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r T(r)\right) \; 2D\mathrm dt,$$ o en una forma más simple, con $\Delta_r$denotando el laplaciano esférico, $$D\Delta_r T(r)=-1.\tag{1}$$ Esta forma es bastante general para el tiempo de golpe promedio. En realidad, es la ecuación de Fokker-Planck en la que hemos reemplazado la derivada del tiempo por $-1$.

Resolvamos (1). Tenemos

$$T(r)=-\frac{r^2}{6D}+\frac{A}r+B.$$ $A$y $B$son constantes. Debemos tener $T(a)=0$. La segunda condición depende de la frontera en $r=R$. Supongamos que la boudary está reflejando, por lo que las partículas rebotan en la esfera y continúan difundiéndose hacia el interior. Esta es una condición de contorno de von Neumann, que se traduce matemáticamente en $\left.\partial_rT(r)\right\rvert_{r=R}=0$. Esto define $A=-R^3/3D$. Con $T(a)=0$encontramos $B=a^2/6D+R^3/3Da$. Finalmente $$T(r)=\frac{a^2-r^2}{6D}+\frac{R^3}{3D}\left(\frac1a-\frac1r\right).$$

Si el punto de partida se distribuye uniformemente dentro de la esfera de radio$R$, el promedio es

$$\int_a^R\frac{3r^2}{R^3-a^3}T(r)\mathrm dr=\frac{(R-a)^2}{15Da}\frac{5R^3+6 R^2a + 3 Ra^2 + a^3}{R^2+Ra+a^2}.$$

Por lo tanto, para$a\ll R$obtenemos

$$\left\langle T\right\rangle\approx\frac{R^3}{3Da}.$$ Las escalas de tiempo de golpe promedio como $R^3$, por lo que en realidad es proporcional al volumen e inversamente proporcional al radio del objetivo.

Tenga en cuenta que una partícula puede pasar por un lugar en particular muchas veces, lo que está buscando es el primer tiempo de paso , FPT$F(r',t|r)$, que es la probabilidad de tardar$t$para moverse desde el punto$r$apuntar$r'$. La cantidad que está buscando es el FPT medio, dado

$$\langle T \rangle = \int_0^\infty t F(r',t|r) dt$$ En general el espacio libre (particularmente $d\ge3$), este tiempo medio puede ser infinito porque la partícula nunca puede pasar por un punto. Para dominación confinada, eventualmente lo hará, lo que significa que $\langle T \rangle$es finito

En dominio confinado, el resultado cualitativo debe depender de la distancia de$r,r'$de la pared esférica, así como la distancia$|r-r'|$. No creo que haya una solución sencilla.

Para su sistema de tipo de reacción, puede ser más fácil simplemente hacer la simulación de partículas y calcular$\langle T \rangle$. Alternativamente, el cálculo de$\langle T \rangle$en el problema de la caminata aleatoria es equivalente a resolver la ecuación de difusión con una condición de frontera absorbente, o un sumidero en$r'$. La probabilidad total disminuirá con el tiempo y la FPT es simplemente la$F(r',t) = \partial_t \int dr P(r,t)$. Esto se puede hacer en el software existente para resolver la ecuación de difusión, para que pueda ver el resultado rápidamente.

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Matemáticamente, la FPT está relacionada con la solución (o función de Green)$P(r',t|r)$de la ecuación de difusión (sujeta a la condición de contorno con constante de difusión$D$) de la siguiente manera:

$$P(r',t|r) = \int_0^\infty F(r',t'|r) P(r',t-t'|r') dt'$$ La relación es clara ya que el paseante necesita ir a gastar $t'$ir al grano $r'$primero y luego tomar otro $t-t'$para retroceder. Una vez $P$se sabe, la $F$puede calcularse mediante la transformada de Laplace y también lo hace $\langle T \rangle$.