¿Cuál es la diferencia entre el movimiento browniano y la difusión?

Me resulta difícil ver las diferencias entre el movimiento browniano y la difusión.

Según tengo entendido, ambos están representados por la ecuación de difusión, ¿verdad? Y si no lo soy, ¿cómo se describe el movimiento browniano?

@tsufli, entonces, cuando quiero obtener un movimiento browniano de una caminata aleatoria, simplemente tomo como variable la suma de n pasos y la divido por sqrt (n)? ¿Cómo me ayuda esto?

Respuestas (1)

La difusión se produce como resultado de la ley de Fick en medios continuos.

Brevemente, la ley de Fick: si tienes una "cosa" (que puede ser cualquier cantidad conservada) y permites que dos contenedores de esa sustancia estén juntos para que puedan compartirla, entonces el flujo de la sustancia será desde el contenedor con mayor concentración hacia el recipiente de menor concentración, y el flujo será proporcional a la diferencia de concentración. Algunos ejemplos: mi estufa funciona creando un quemador con una alta concentración de energía térmica; la "concentración" de esta energía se mide como una temperatura, por lo que cuando pongo una olla más fría en el quemador, el calor fluye hacia la olla, proporcional a la diferencia de temperatura. Otra "cosa" es el impulso en el X -dirección, por lo que cuando estoy en una canoa en un lago y pongo mi remo en un cuerpo de agua, a medida que lo muevo en una dirección, comienza a arrastrar el agua en esa dirección, compartiendo impulso con el agua; así avanzo empujando el agua hacia atrás. Para moverme más rápido, necesito poner más velocidad en mi paleta.

Ahora, si tiene muchas partículas colectivamente experimentando un movimiento browniano, se difundirán naturalmente de acuerdo con la ley de Fick: dividir un fluido en cajas conceptuales con un sistema de coordenadas que fluya aguas abajo con el fluido. Cada caja contiene una cantidad de partículas proporcional a su concentración en ese punto, y asumiendo que las direcciones son completamente aleatorias, si miras dos cajas una al lado de la otra, entonces el número que cruza de A a B será proporcional a la concentración de A, mientras que el número que cruza de B a A será proporcional a la concentración de B, por lo que el efecto neto será un flujo de mayor a menor concentración, proporcional a esa diferencia de concentración.

Pero también tenga en cuenta que la ley de Fick no responde directamente por qué estas cosas se mueven aleatoriamente en primer lugar; la difusión simplemente surge como consecuencia del hecho de que se están moviendo. Y la difusión tiene sentido para "cosas" que son más difíciles de conceptualizar como partículas, como el impulso en la dirección x o la energía.

¡Gracias! Entonces parece que como resultado de muchos movimientos brownianos, obtendré una difusión. Pero ahora no estoy seguro de cómo describo solo una partícula browniana y cómo derivo la ecuación de difusión a partir de ella.
@Ilay una pregunta interesante! Una sola partícula en movimiento browniano tiene un movimiento en el espacio y el tiempo que cambia abruptamente sin motivo: no es diferenciable . Podrías decir "¡Será mejor que me rinda, no puedo hacer cálculos en cosas no diferenciables!" pero te sorprenderá saber que puedes, si lo haces con cuidado. Este es el tema del análisis estocástico , desarrollado históricamente en dos formas: el cálculo de Itô abandona la regla de la cadena y sus fórmulas son simulaciones por computadora; El cálculo de Stratonovich conserva la regla de la cadena pero es más difícil ver cómo usar las expresiones resultantes.
Habiendo dicho todo eso, puede omitir estas ideas detalladas si, en cambio, solo trata la partícula como un grupo muy denso de partículas, en cuyo punto todavía tiene la ecuación de difusión nuevamente: la concentración difusa debe considerarse como una función de densidad de probabilidad para la partícula resultante, ya que solo tienes una y no estás seguro de cuál de estas partículas era.