¿Cuál es la probabilidad de retorno para el movimiento browniano en tres dimensiones?

Para el movimiento browniano, la ecuación de Langevin, las ecuaciones de Fokker-Planck, el proceso estocástico... desde el punto de vista de los físicos, las siguientes son referencias estándar:

• Movimiento browniano: fluctuaciones, dinámicas y aplicaciones
• La ecuación de Fokker-Planck: métodos de soluciones y aplicaciones
• Manual de Métodos Estocásticos: para Física, Química y Ciencias Naturales
• La ecuación de Langevin: con aplicaciones a problemas estocásticos en física, química e ingeniería eléctrica
• Procesos Estocásticos en Física y Química

Para una partícula libre que parte del reposo en$t=0$y posición$\mathbf{x}_0$, la densidad de probabilidad para encontrar la partícula en la posición$\mathbf{x}$en el momento$t$es

$$p(\mathbf{x},t | \mathbf{x}_0, 0) = \frac{1}{(4\pi D t)^{3/2}} e^{-\frac{(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2}{4Dt}}$$ dónde $$D = \frac{k_BT}{6 \pi \eta a}$$ es la constante de difusión en tres dimensiones para una partícula de radio $a$sumergido en un fluido de viscosidad $\eta$a temperatura $T$. La densidad de probabilidad de encontrar la partícula en el mismo punto de partida, es decir, $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0$, es, por lo tanto $$p(\mathbf{x}_0,t | \mathbf{x}_0, 0) = \frac{1}{(4\pi D t)^{3/2}}$$

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