tiempo de establecimiento de sistemas sobreamortiguados y críticamente amortiguados

TL; DR: NO, no puede usar la fórmula del tiempo de establecimiento subamortiguado para averiguar el tiempo de establecimiento de un sistema sobreamortiguado. Y tampoco puede usarlo para un sistema críticamente amortiguado.

La respuesta en FORMA LARGA sigue...

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Caja críticamente amortiguada

Para el caso críticamente amortiguado ($\zeta=1$), la respuesta al escalón es:

$$v_{out}(t) = H_0 u(t) \lbrack 1 - (1+\omega_0 t) e^{-\omega_0 t} \rbrack$$

Si definimos el tiempo de asentamiento$T_s$usando el mismo criterio de "dentro del 2% de la respuesta final", entonces:

$$0.02 = (1+\omega_0 T_s) e^{-\omega_0 T_s}\\ $$

Resolviendo numéricamente para$\omega_0 T_s$(simplemente usando el solucionador de Excel) obtenemos:

$$T_s \approx \frac{5.8335}{\omega_0}$$

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caso sobreamortiguado

Para el caso sobreamortiguado ($\zeta>1$), la respuesta al escalón es:

$$v_{out}(t) = H_0 u(t) \left[ 1 - \frac{s_2}{s_2-s_1}e^{s_1 t} - \frac{s_1}{s_1-s_2}e^{s_2 t} \right]$$

dónde$s_1, s_2$son las raíces reales del denominador de la función de transferencia:

$$s_1 = -\zeta \omega_0 + \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \\ s_2 = -\zeta \omega_0 - \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}$$

Por conveniencia definimos:

$$\begin{align} \Delta &= \frac{s_2-s_1}{2} = - \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \\ \Sigma &= \frac{s_1+s_2}{2} = - \zeta \omega_0 \\ K &= \frac{\Sigma}{\Delta} = \frac{\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}} \end{align}$$

De modo que:

$$\begin{align} s_1 &= \Sigma-\Delta \\ s_2 &= \Sigma+\Delta \end{align}$$

Si definimos el tiempo de asentamiento$T_s$usando el mismo criterio de "dentro del 2% de la respuesta final", entonces:

$$\begin{align} 0.02 &= \frac{s_2}{s_2-s_1} e^{s_1 T_s} + \frac{s_1}{s_1-s_2} e^{s_2 T_s} = \\ &= \frac{\Sigma + \Delta}{2 \Delta} e^{(\Sigma - \Delta) T_s} - \frac{\Sigma - \Delta}{2 \Delta} e^{(\Sigma + \Delta) T_s} = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \frac{\Sigma+\Delta}{2} e^{-\Delta T_s} - \frac{\Sigma-\Delta}{2} e^{\Delta T_s} \right] = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \frac{\Delta}{2} \left( e^{\Delta T_s} + e^{-\Delta T_s} \right) - \frac{\Sigma}{2} \left( e^{\Delta T_s} - e^{-\Delta T_s} \right) \right] = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \Delta \cosh{(\Delta T_s)} - \Sigma \sinh{(\Delta T_s)} \right] = \\ &= e^{K \Delta T_s} \left[ \cosh{(\Delta T_s)} - K \sinh{(\Delta T_s)} \right] = \\ &= e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(-|\Delta| T_s)} - K \sinh{(-|\Delta| T_s)} \right] \end{align}$$

Y finalmente:

$$0.02 = e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(|\Delta| T_s)} + K \sinh{(|\Delta| T_s)} \right] \\ $$

Ahora que hemos reescrito la expresión en términos de$|\Delta| T_s$y$K$(en lugar de en términos de$s_1$y$s_2$), podemos resolver numéricamente para$|\Delta| T_s$, (simplemente usando el solucionador de Excel) para cualquier dado arbitrario$\zeta>1$.

Ejemplo 1: un sistema moderadamente sobreamortiguado con$\zeta = 1.1$. De este modo$K = \frac{1.1}{1.1^2-1} \approx 2.4$, y luego resolviendo numéricamente:

$$T_s \approx \frac{3.172}{|\Delta|} = \frac{3.172}{\omega_0 \sqrt{1.1^2-1}} \approx \frac{6.922}{\omega_0}$$

Ejemplo 2: un sistema fuertemente sobreamortiguado con$\zeta = 5$. De este modo$K = \frac{5}{\sqrt{24}} \approx 1.0206$, y luego resolviendo numéricamente:

$$T_s \approx \frac{190.21}{|\Delta|} = \frac{190.21}{\omega_0 \sqrt{24}} \approx \frac{38.827}{\omega_0}$$

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También hay una aproximación para fuertemente sobreamortiguado ($\zeta \gg 1$) sistemas basados ​​en el polo dominante:

$$v_{out}(t) \approx H_0 u(t) \left[ 1 - e^{s_1 t} \right]$$

Si definimos el tiempo de asentamiento$T_s$usando el mismo criterio de "dentro del 2% de la respuesta final", entonces:

$$0.02 \approx e^{s_1 T_s}$$

y:

$$T_s \approx \frac{\ln(0.02)}{s_1} = \frac{-\ln(0.02)}{\omega_0 (\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})}$$

Podemos comparar esta aproximación con los resultados exactos que hemos obtenido antes.

Para$\zeta = 5$:

$$T_s \approx \frac{38.725}{\omega_0}$$

Un error de estimación de casi -0,25%. Bastante bueno de hecho.

Para$\zeta = 1.1$:

$$T_s \approx \frac{6.096}{\omega_0}$$

Un error de estimación de aproximadamente -12%. No está mal teniendo en cuenta que$\zeta = 1.1$está marginalmente por encima del caso críticamente amortiguado!.

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Prima

Podemos escribir una expresión genérica de tiempo de asentamiento para$\zeta>1$como sigue

$$T_s = \frac{\psi}{\omega_0}$$

dónde$\psi$es un coeficiente aproximadamente proporcional al factor de amortiguamiento$\zeta$.

He calculado numéricamente el valor de$\psi$para una gama de$1<\zeta<9$utilizando la expresión deducida anteriormente para establecerse dentro del 2% del valor final,

$$0.02 = e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(|\Delta| T_s)} + K \sinh{(|\Delta| T_s)} \right]$$

Luego calculé (para propósitos de comparación) 1) la aproximación del polo dominante, 2) una regresión polinomial de tercer orden en mi conjunto de datos calculado numéricamente, y 3), 4) el error relativo debido a estas dos aproximaciones.

Aquí hay una gráfica de Excel con los resultados:

El tiempo de asentamiento para el caso subamortiguado es bien conocido. Presentaré soluciones para los otros dos casos (2% de definición):

1. Sobreamortiguado

La respuesta escalonada general para 2 polos reales y distintos$p_1$y$p_2$es:

$$y_s(t)=K\left[1 - \frac{p_2}{p_2-p_1}e^{-p_1t} - \frac{p_1}{p_1-p_2}e^{-p_2t}\right]u(t)$$

Haciendo$p_2=kp_1$, dónde$k$es una constante y se escribe en forma normalizada, independientemente del valor final$K$:

$$\frac{y_s(t)}{K}=\left[1 - \frac{k}{k-1}e^{-p_1t} + \frac{1}{k-1}e^{-kp_1t}\right]u(t)$$

Cuando$t=t_s$(tiempo de estabilización),$\frac{y_s(t_s)}{K}$es igual a 0.98, resultando en:

$$\frac{k}{k-1}e^{-p_1t_s} - \frac{1}{k-1}e^{-kp_1t_s} = 0.02$$

Esta ecuación se puede resolver usando métodos numéricos, para una variable normalizada$p_1t_s$. La solución puede simplificarse si se admite la existencia de un polo dominante , por ejemplo$p1$, de modo que$k \gg 1$. En este caso, el segundo término del lado izquierdo desaparece rápidamente y$\frac{k}{k-1}\simeq 1$. Por lo tanto:

$$e^{-p_1t_s} \simeq 0.02$$

Resolviendo para$p_1t_s$:

$$p_1t_s \simeq 3.91$$

o

$$t_s \simeq \frac{3.91}{p_1}$$

Usando la definición del 5%:$t_s \simeq\frac{3}{p_1}$

2. Amortiguado críticamente

En este caso, la respuesta normalizada es:

$$y_s(t)= K \left[ 1 - (1 + p_1t)e^{-p_1t}\right]$$

Entonces:

$$\frac{y_s(t)}{K}= 1-\left( 1 + p_1t \right)e^{-p_1t}$$

Con un tiempo de asentamiento$t_s$(2% definición):

$$0.02 = (1+p_1t_s)e^{-p_1t_s}$$

Esta ecuación se puede resolver usando métodos numéricos, para una variable normalizada$p_1t_s$. Con Newton-Raphson obtuve:

$$p_1t_s \simeq 5.83$$

o

$$t_s \simeq \frac{5.83}{p_1}$$

De manera similar, usando la definición del 5%:$t_s \simeq\frac{4.74}{p_1}$

No, no puedes usar la misma fórmula. La razón es que cuando cambias los polos también cambias el tiempo de establecimiento. Si resuelve las ecuaciones para una entrada escalonada y observa la salida, cada ecuación tiene diferentes constantes de tiempo debido a los polos del sistema. Ver aquí :

En el caso críticamente amortiguado, la constante de tiempo 1/ω0 es menor que la constante de tiempo más lenta 2ζ/ω0 del caso sobreamortiguado. En consecuencia, la respuesta es más rápida. Esta es la respuesta más rápida que no contiene sobreimpulso ni timbre.