Encontrar la función de transferencia del sistema amortiguador de masa de resorte

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Encontrar la función de transferencia del sistema amortiguador de masa de resorte

control
Física
Voltaje
sistema de control
análisis de circuitos
función de transferencia

rrz0

He estado leyendo el libro de ingeniería de control moderno de Ogata y trabajando en varios ejercicios para mejorar mi comprensión de los principios básicos de control. Encontré el siguiente ejemplo que estoy luchando por resolver.

Necesito pensar en la función de transferencia que modela esta plantilla de vibración. Las preguntas son las siguientes:

En este ejemplo, analizará un banco de pruebas de vibración (Fig. 1). Este sistema consiste en una mesa de masa M y una bobina cuya masa es m. Un imán permanente unido rígidamente al suelo proporciona un campo magnético constante. El movimiento de la bobina, 𝑦, a través del campo magnético induce un voltaje en la bobina que es proporcional a su velocidad, 𝑦̇, como en la Ec. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [ecuación 1]

El paso de corriente a través de la bobina hace que experimente una fuerza magnética proporcional a la corriente como en la Ec. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [ecuación 2]

Pregunta: Obtenga una función de transferencia paramétrica con salida 𝑥 a entrada 𝑉.

Algunas preguntas que encuentro difíciles de responder pero que afectan a todo el TF son:

Si K2 y B2 se comprimen una distancia Z (al moverse hacia arriba
debido a que la bobina interactúa con el campo magnético), ¿significa esto que k1 y b1 se extienden la misma distancia Z?
Si m(bobina) se mueve hacia arriba 2 cm, ¿ M(mesa) también se mueve hacia arriba 2 cm?

Lo que necesito hacer:

Crea dos diagramas de cuerpo libre separados, uno para la masa M de la mesa y otro para la masa m de la bobina.
Dibuje un diagrama de circuito que incluya la fuerza contraelectromotriz.
Transformar a dominio s.
Resuelva simultáneamente.

Lo que he hecho hasta ahora:

Dibujar para separar diagramas de cuerpo libre y extraer ecuaciones.
Dibuja el diagrama del circuito y extrae la ecuación.
Convertir a dominio s.

Usando la función MATLAB, solvelogré obtener 2 funciones de transferencia de quinto orden diferentes (una para cada método que propongo a continuación), sin embargo, no estoy seguro de cuál es la correcta y por qué.

Sistema en general :

Esta es una representación esquemática de cómo creo que se puede modelar la plantilla de prueba de vibración, excluyendo la parte eléctrica.

Diagrama de cuerpo libre 1 - Tabla - Convención ascendente

Los resortes k1y los k2amortiguadores b1se modelan por separado . Dado que no se pueden sumar y ver como uno solo, su compresión y extensión están separadas.b2

La fuerza ascendente proviene de k2y b2que están unidas a la bobina. Estos están experimentando un movimiento ascendente.

Ecuación en el dominio s:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Diagrama de cuerpo libre 2 - Bobina - Convención ascendente

La bobina está experimentando una fuerza hacia arriba, sin embargo, el resorte y el amortiguador la retienen, actuando así en la dirección opuesta.

Ecuación en el dominio s:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Los dos métodos diferentes que se muestran arriba para el DCL de la tabla conducen a diferentes ecuaciones en el dominio s y diferentes funciones de transferencia.

¿Cuál es el diagrama de cuerpo libre correcto para la mesa y la bobina?

Lorenzo Donati apoya a Ucrania

Buena pregunta, pero por favor, publique una foto donde los detalles sean claros sin obligarnos a hacer clic en ella para ampliarla. Por ejemplo, esos signos menos son apenas perceptibles. Además, la ecuación de la parte inferior izquierda se ha recortado parcialmente. Hay mucho espacio libre para usar en su hoja para hacer las cosas más grandes. Hay muchos programas gratuitos de edición de imágenes en Internet (p. ej., IrfanView o FastSstone ImageViewer), por lo que también puede tomar varias fotografías de su(s) hoja(s) y cortar/recortar las partes que necesite para publicar buenas fotografías.

rrz0

@LorenzoDonati, gracias por la sugerencia, editará de inmediato. Con respecto a la ecuación en la parte inferior izquierda, eso no es de interés ya que mi preocupación es el diagrama de cuerpo libre. Si eso es correcto, entonces la ecuación será correcta. Sin embargo, intentaré editar en consecuencia. Gracias por tus comentarios.

Lorenzo Donati apoya a Ucrania

Trate de no hacer suposiciones sobre lo que hizo mal. Publicar un conjunto de ecuaciones bien dibujadas siguiendo su línea de pensamiento mostrará sus esfuerzos (y por lo tanto mejorará su pregunta, dándole más oportunidades de ser respondida) y también puede señalar posibles errores. Cualquier información relevante con respecto a su problema en cuestión podría ser útil para el posible respondedor.

Lorenzo Donati apoya a Ucrania

Por cierto, si se siente cómodo con la sintaxis de LaTeX, el editor de preguntas puede comprender la "notación en dólares" de las fórmulas de LaTeX (consulte la ayuda en línea).

rrz0

Gracias @LorenzoDonati, estoy tratando de presentar la pregunta de una manera más estructurada y legible.

joe electro

Si asume que la mesa y la bobina no se mantienen horizontales, es decir, que hay un grado de libertad alrededor del eje perpendicular a su imagen, entonces la formulación del problema es incorrecta porque si existiera ese grado de libertad, habría un componente rotacional alrededor . este eje se introduce tanto en la mesa como en la bobina. No he resuelto esto, pero dada la complejidad del problema, es muy probable que esto conduzca a un movimiento caótico (aleatorio) en el que la energía de los movimientos verticales se intercambie caóticamente con los movimientos de rotación de la mesa y la bobina.

joe electro

Lo siento, debería haber escrito: "(no al azar)". Además, en ese caso (tengo que continuar en un nuevo comentario ya que voy a pasar de los 600 caracteres) se tendría que haber dado unas posiciones horizontales.

rrz0

@joeelectro, gracias por su comentario perspicaz, sin embargo, asumo que la mesa y la bobina se mantienen horizontales, ya que nos presentan dos flechas hacia arriba (x e y) que representan solo un movimiento horizontal . Además, creo que el autor habría mencionado cualquier movimiento de rotación y también lo habría indicado en el diagrama.

joe electro

Tienes razón, leí mal sus dos suposiciones básicas. Ahora supongo que tendré que eliminar mis comentarios.

rrz0

@joeelectro, no veo la necesidad de eso, es posible que mi pregunta no haya sido lo suficientemente clara y que otros hayan pensado lo mismo. Gracias una vez más.

joe electro

Está bien. Gracias por tu consejo y por señalar mi error. Por cierto, la imagen no da ninguna pista de que la idea de que ambas afirmaciones son ciertas estaría justificada.

joe electro

Incluso dicho de manera más general: la imagen no da ninguna pista de que alguna de esas afirmaciones sea cierta.

Respuestas (1)

Encontrar la función de transferencia del sistema amortiguador de masa de resorte

Buena pregunta, pero por favor, publique una foto donde los detalles sean claros sin obligarnos a hacer clic en ella para ampliarla. Por ejemplo, esos signos menos son apenas perceptibles. Además, la ecuación de la parte inferior izquierda se ha recortado parcialmente. Hay mucho espacio libre para usar en su hoja para hacer las cosas más grandes. Hay muchos programas gratuitos de edición de imágenes en Internet (p. ej., IrfanView o FastSstone ImageViewer), por lo que también puede tomar varias fotografías de su(s) hoja(s) y cortar/recortar las partes que necesite para publicar buenas fotografías.
@LorenzoDonati, gracias por la sugerencia, editará de inmediato. Con respecto a la ecuación en la parte inferior izquierda, eso no es de interés ya que mi preocupación es el diagrama de cuerpo libre. Si eso es correcto, entonces la ecuación será correcta. Sin embargo, intentaré editar en consecuencia. Gracias por tus comentarios.
Trate de no hacer suposiciones sobre lo que hizo mal. Publicar un conjunto de ecuaciones bien dibujadas siguiendo su línea de pensamiento mostrará sus esfuerzos (y por lo tanto mejorará su pregunta, dándole más oportunidades de ser respondida) y también puede señalar posibles errores. Cualquier información relevante con respecto a su problema en cuestión podría ser útil para el posible respondedor.
Por cierto, si se siente cómodo con la sintaxis de LaTeX, el editor de preguntas puede comprender la "notación en dólares" de las fórmulas de LaTeX (consulte la ayuda en línea).
Gracias @LorenzoDonati, estoy tratando de presentar la pregunta de una manera más estructurada y legible.
Si asume que la mesa y la bobina no se mantienen horizontales, es decir, que hay un grado de libertad alrededor del eje perpendicular a su imagen, entonces la formulación del problema es incorrecta porque si existiera ese grado de libertad, habría un componente rotacional alrededor . este eje se introduce tanto en la mesa como en la bobina. No he resuelto esto, pero dada la complejidad del problema, es muy probable que esto conduzca a un movimiento caótico (aleatorio) en el que la energía de los movimientos verticales se intercambie caóticamente con los movimientos de rotación de la mesa y la bobina.
Lo siento, debería haber escrito: "(no al azar)". Además, en ese caso (tengo que continuar en un nuevo comentario ya que voy a pasar de los 600 caracteres) se tendría que haber dado unas posiciones horizontales.
@joeelectro, gracias por su comentario perspicaz, sin embargo, asumo que la mesa y la bobina se mantienen horizontales, ya que nos presentan dos flechas hacia arriba (x e y) que representan solo un movimiento horizontal . Además, creo que el autor habría mencionado cualquier movimiento de rotación y también lo habría indicado en el diagrama.
Tienes razón, leí mal sus dos suposiciones básicas. Ahora supongo que tendré que eliminar mis comentarios.
@joeelectro, no veo la necesidad de eso, es posible que mi pregunta no haya sido lo suficientemente clara y que otros hayan pensado lo mismo. Gracias una vez más.
Está bien. Gracias por tu consejo y por señalar mi error. Por cierto, la imagen no da ninguna pista de que la idea de que ambas afirmaciones son ciertas estaría justificada.
Incluso dicho de manera más general: la imagen no da ninguna pista de que alguna de esas afirmaciones sea cierta.

joe electro · Answer 1

Introducción

M y m tienen un solo grado de libertad; ambos pueden moverse verticalmente solamente. La fuerza magnética actúa directamente sobre el imán m, no sobre la masa M.

Para desmitificar un poco la imagen, podría ser útil pensar en el imán colocado al otro lado de la mesa. La imagen ha sido dibujada en LTSPICE , y eso no tiene flechas. Entonces, la aproximación más cercana a una flecha es el pin de salida, y como esos solo pueden apuntar horizontalmente hacia la derecha, la imagen completa se gira $90^o$ A la derecha. Por la misma razón, las flechas '-y' y '-F' apuntan a la derecha, mientras que me hubiera gustado dibujar las flechas 'y' y 'F' a la izquierda. Además, el derecho $b_1$ tiene que leer $b_2$ .

Mesa vibratoria excitada electromagnéticamente

Ahora está claro que esta es una conexión en serie de masas con elementos dinámicos entre ellas, así que comenzamos a escribir las ecuaciones de movimiento de derecha a izquierda, comenzando con la ecuación eléctrica para m primero, que contendrá V, y y F.
Después escribiremos la ecuación de movimiento para m y para M.
Como M no se ve afectada por una fuerza magnética, esta última ecuación nos dará y en función de x, que se usará en la primera ecuación para relacionar x con v

Eléctrico

La fuerza magnética y el movimiento del imán están acoplados a través del voltaje a través de la bobina. Y porqué

mi = α \dot{y}, F = β i, V - mi = R i + L \dot{i}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$ y suponiendo que L es independiente de y, tenemos

V - mi = V - α \dot{y} = R i + L \dot{i} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

Ahora tenemos $y$ en términos de $F$ (y $V$ ), y podemos escribir las ecuaciones de movimiento sumando todas las fuerzas sobre los objetos en movimiento y obligándolos a ser cero (por ley).

el imán

F + metro \ddot{y} + b_{2} (\dot{y} - \dot{X}) + k_{2} (y - X) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$ Podemos resolver la relación anterior entre F y y en el dominio s

V - α \dot{y} = V (s) - α s y = (R + L s) i = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$ y por lo tanto

F = \frac{β}{R + L s} (V (s) - α s y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$ La suma de las fuerzas sobre el imán es cero, por lo que (y para facilitar la lectura, las posiciones aún no se han transformado al dominio s)

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + metro \ddot{y} + k_{2} (y - X) + b_{2} (\dot{y} - \dot{X}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$ Después de transformar al dominio s, esta ecuación se ve como

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + metro s^{2} y + k_{2} (y - X) + b_{2} s (y - X) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$ Después de reagrupar esto se convierte en

metro s^{2} y + (b_{2} - \frac{α β}{R + L s}) s y + k_{2} y - b_{2} s X - k_{2} X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$ aislar

x

$x$ y

y

$y$ obtenemos

(metro s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) y - (b_{2} s + k_{2}) X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

la mesa móvil

Para la mesa móvil, la ecuación gobernante es

METRO \ddot{X} + k_{1} X + b_{1} \dot{X} + k_{2} (X - y) + b_{2} (\dot{X} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$ Después de transformar al dominio s, esta ecuación se ve como

METRO s^{2} X + k_{1} X + b_{1} s X + k_{2} (X - y) + b_{2} s (X - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$ Después de reagrupar esto se convierte en

- b_{2} s y - k_{2} y + METRO s^{2} X + (b_{1} + b_{2}) s X + (k_{1} + k_{2}) X = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$ aislar

x

$x$ y

y

$y$ obtenemos

- (b_{2} s + k_{2}) y + {METRO s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} X = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$ Reescribe esta ecuación para obtener y en términos de x.

y = \frac{METRO s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} X

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Conjunto

Poner $y=f(x)$ desde arriba en la relación entre $x$ , $y$ y $V$ para el imán:

[(metro s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{METRO s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $R+Ls$ obtenemos

[{(R + L s) (metro s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} \frac{METRO s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] X = - β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

A continuación, multiplicamos ambos lados con $b_2s+k_2$ y obten

[{(R + L s) (metro s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} {METRO s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] X = - (b_{2} s + k_{2}) β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

De la inspección visual se deduce que podemos esperar una función de transferencia $x(s)/V(s)$ con un orden máximo de 1 en el denominador y de 5 en el denominador. Es posible que un cero se cancele con el polo uno, pero eso es especulativo y requeriría un poco más de reescritura para averiguarlo.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

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Sistema en general :

Diagrama de cuerpo libre 1 - Tabla - Convención ascendente

Diagrama de cuerpo libre 2 - Bobina - Convención ascendente

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Respuestas (1)

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Introducción

Eléctrico

el imán

la mesa móvil

Conjunto

david tweed

Representación del modelo de estado de la red RLC

tiempo de establecimiento de sistemas sobreamortiguados y críticamente amortiguados

Concepto de circuito degenerado y sus implicaciones teóricas y prácticas

Estabilidad en teoría de control y electrónica.

¿Funciones de transferencia con fuentes de voltaje constante en ellas?

¿Cómo podemos encontrar la función de transferencia de este n/w?

Reduciendo el orden de la función de transferencia manteniendo la misma respuesta

¿Cómo estimar el tiempo de asentamiento de un sistema sobreamortiguado?

Tipos de respuesta del sistema

¿Cómo calcular el voltaje inicial en un circuito eléctrico simple?