¿Cómo estimar el tiempo de asentamiento de un sistema sobreamortiguado?

Para los sistemas con polos reales del semiplano izquierdo, generalmente puede estimarlo considerando solo el polo dominante (el polo con la frecuencia más baja). En tu caso esto seria$p_d=-2$. El resultado se vuelve más preciso a medida que el polo no dominante ($p_{nd}$) se aleja más del polo dominante.

Al considerar solo el polo dominante, obtienes una ecuación bastante simple:

$$\begin{align} \frac{5}{4}\cdot e^{-2t}&=0.02\cdot \frac{5}{8} \\ t &= -\frac{1}{2}\cdot \ln\left( 0.02\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{4}{5} \right) \approx 2.30258509299s\\ \end{align}$$

La idea es que el polo no dominante en$p_{nd}=-4$conduce a un término$e^{-4t}$que se amortiguará tan rápidamente que no afectará el tiempo total de asentamiento. La ventaja es la simplicidad de la ecuación y el hecho de que en realidad es bastante común tener un polo muy dominante y polos no dominantes lejanos en los circuitos electrónicos.

En su caso específico, es posible calcular analíticamente el tiempo de asentamiento. El tiempo que tardan los términos dependientes del tiempo en amortiguarse al 2 % del valor final se puede calcular usando (similar a la respuesta de Andy, pero usando el valor absoluto):

$$\begin{align} \left| e^{-4t}-2\cdot e^{-2t} \right| &=0.02 \\ &\Updownarrow (y=e^{-2t})\\ y^2-2\cdot y &= \pm 0.02 \\ &\Updownarrow (\text{There are 4 distinct solutions, but I only take the relevant one}) \\ y = e^{-2t} &= 1 - \frac{7}{5\sqrt{2}} \\ &\Updownarrow \\ t &= -\frac{1}{2}\cdot \ln\left(1 - \frac{7}{5\sqrt{2}}\right) \approx 2.30006613189s \end{align}$$

Entonces un factor de 2 para$p_{nd}/p_d$conduce a un error de alrededor del 0,1 % en el tiempo de establecimiento calculado cuando se utiliza la aproximación del polo dominante. Si esto es suficiente o no, se lo dejo a usted.

Sí, su cálculo de Laplace inverso es correcto.

El valor de estado estable final será 5/8: este es el valor de CC después de un largo período de tiempo. Entonces, realmente está buscando que el resto de la ecuación caiga en magnitud al 2% de 5/8: -

$$\dfrac{5}{8}e^{-4t} - \dfrac{5}{4}e^{-2t} = \dfrac{5}{8}\cdot \text{0.02}$$

$$=\dfrac{8}{8}e^{-4t} - \dfrac{8}{4}e^{-2t} = \dfrac{8}{8}\cdot \text{0.02}$$

$$= e^{-4t} - 2e^{-2t} = 0.02$$

¿Eso ayuda?

Bueno, resolvamos esto en un caso más general. Tenemos la siguiente función de transferencia (suponiendo un valor real positivo para$\epsilon$):

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{Y}\left(\text{s}\right)}{\text{X}\left(\text{s}\right)}=\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\tag1$$

Cuando miramos la respuesta escalonada que estamos usando$\text{X}\left(\text{s}\right)=\mathcal{L}_t\left[\theta\left(t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\frac{1}{\text{s}}$, por lo que la salida viene dada por:

$$\text{Y}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{s}}\cdot\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\tag2$$

Usando la transformada inversa de Laplace, encontramos:

$$\text{y}\left(t\right)=\mathcal{L}_\text{s}^{-1}\left[\frac{1}{\text{s}}\cdot\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\right]_{\left(t\right)}=\frac{\exp\left(-2\epsilon t\right)\left(\exp\left(\epsilon t\right)-1\right)^2}{2\epsilon^2}\tag3$$

No es difícil demostrar que cuando$t\to\infty$(suponiendo un valor real positivo para$\epsilon$), obtenemos:

$$\lim_{t\to\infty}\text{y}\left(t\right)=\frac{1}{2\epsilon^2}\tag4$$

Ahora, para el tiempo de establecimiento, queremos encontrar el tiempo$t$cuando$\text{n}\text{%}$del valor final se alcanza:

$$\text{y}\left(t_\text{n}\right)=\frac{\text{n}\text{%}}{100}\cdot\frac{1}{2\epsilon^2}\Longleftrightarrow\space t_\text{n}=\dots\tag5$$

Resolviendo eso da:

$$t_\text{n}=\frac{1}{\epsilon}\cdot\ln\left(\frac{10}{10-\sqrt{\text{n}\text{%}}}\right)\tag6$$