Términos de la secuencia de Fibonacci ≤a≤a\le a

Como tú sabes,$F_n$es un número entero dado por la fórmula$\frac{(1 + \sqrt{5})^{n+2} - (1 - \sqrt{5})^{n+2}}{2^{n+2} \sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5})^{n+2}}{2^{n+2}\sqrt{5}} - \frac{(1 - \sqrt{5})^{n+2}}{2^{n+2} \sqrt{5}}$.

Ahora bien, este segundo término satisface$\left| \frac{(1 - \sqrt{5})^{n+2}}{2^{n+2} \sqrt{5}} \right| < \frac12$para todos$n$, ya que el primer término ya es más pequeño que$\frac12$, y la base del exponente,$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$es más pequeña que$1$en valor absoluto.

Por eso$F_n$es el entero más cercano a$\frac{(1 + \sqrt{5})^{n+2}}{2^{n+2} \sqrt{5}}$, lo que demuestra el hecho de que no quería utilizar. Esto ahora hace que sea más fácil resolver tu desigualdad.$F_n \le a$- simplemente tome logaritmos para resolver$n$.

Dejar$\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}$. Luego usa la fórmula

De OEIS (número de secuencia 45), los primeros términos de la secuencia de Fibonacci son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 8,52...

Puede verificar la exactitud de los cálculos a mano.

Desde$F_n$es una secuencia creciente, puedes hacer una búsqueda binaria. Primero, encuentra números enteros$a$y$b$tal que$F_a \leq 4000000 \leq F_b$. Entonces mira$F_{(a+b)/2}$. Si$F_{(a+b)/2} \leq 4000000$, Entonces sabes$F_{(a+b)/2} \leq 4000000 \leq F_b$. De lo contrario,$F_a \leq 4000000 \leq F_{(a+b)/2}$. Siga repitiendo este proceso hasta que haya reducido el conjunto de posibles índices a uno solo.