Números de Fibonacci solución a esta relación de recurrencia

Question

TAPLÓN

Demostrar que los números de Fibonacci son las soluciones de la siguiente relación de recurrencia,

S_{norte} = 5 S_{norte - 4} + 3 S_{norte - 5}

$S_n=5S_{n-4}+3S_{n-5}$ Para todo n mayor o igual a 5, donde tenemos

S_{0} = 0

$S_0=0$

S_{1} = 1

$S_1=1$

S_{2} = 1

$S_2=1$

S_{3} = 2

$S_3=2$

S_{4} = 3

$S_4=3$ Luego use la fórmula para mostrar que los números de Fibonacci satisfacen la condición de que

f_{n}

$f_n$ es divisible por 5 si y solo si n es divisible por 5.

La primera parte es una demostración extremadamente directa por inducción. Para el segundo, demuestre que la recurrencia implica que

S_{n} \equiv S_{n - 5} (\mod 5)

$S_n\equiv S_{n-5}\pmod5$ .

La primera parte es una demostración extremadamente directa por inducción. Para el segundo, demuestre que la recurrencia implica que $S_n\equiv S_{n-5}\pmod5$ .

Cosrotash · Answer 1

pista: ecuación característica

X^{5} = 5 X + 3 X^{5} - 5 X - 3 = 0

$x^5=5x+3\\x^5-5x-3=0$ entonces

X^{2} - X - 1 | X^{5} - 5 X - 3 \to

$x^2-x-1|x^5-5x-3\\ \to$ dividir

x^{5} - 5 x - 3

$x^5-5x-3$ por

x^{2} - x - 1

$x^2-x-1$

X^{5} - 5 X - 3 = (X^{2} - X - 1) (X^{3} + X^{2} + 2 X + 3)

$x^5-5x-3=(x^2-x-1)(x^3+x^2+2x+3)$ y

x^{2} - x - 1

$x^2-x-1$ es la ecuación característica de

f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} - - - -

$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\\----\\$

Otra solucion:

F_{norte + 5} = F_{norte + 4} + F_{norte + 3} = (F_{norte + 3} + F_{norte + 2}) + F_{norte + 3} = 2 F_{norte + 3} + F_{norte + 2}

$f_{n+5}=f_{n+4}+f_{n+3}\\ =(f_{n+3}+f_{n+2})+f_{n+3}=\\2f_{n+3}+f_{n+2}$ ahora pon

f_{n + 3}

$f_{n+3}$

F_{norte + 5} = 2 F_{norte + 3} + F_{norte + 2} = 2 (F_{norte + 2} + F_{norte + 1}) + F_{norte + 2} = 3 F_{norte + 2} + 2 F_{norte + 1}

$f_{n+5}=2f_{n+3}+f_{n+2}=\\2(f_{n+2}+f_{n+1})+f_{n+2}=\\3f_{n+2}+2f_{n+1}\\$ y ahora

F_{norte + 5} = 3 F_{norte + 2} + 2 F_{norte + 1} = 3 (F_{norte + 1} + F_{norte}) + 2 F_{norte + 1} = 5 F_{norte + 1} + 3 F_{norte}

$f_{n+5}=3f_{n+2}+2f_{n+1}=\\3(f_{n+1}+f_{n})+2f_{n+1}=\\5f_{n+1}+3f_n$