¿Nuevas identidades para los números de Fibonacci generalizados?

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¿Nuevas identidades para los números de Fibonacci generalizados?

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FofX

En los últimos meses he estado investigando una de las generalizaciones de los números de Fibonacci, llamada Números de Fibonacci Generalizados (GFN).

Los GFN son como los números regulares de Fibonacci excepto que las secuencias de GFN tienen valores iniciales arbitrarios.

Los GFN obedecen al mismo tipo de relación de recurrencia que los números de Fibonacci, a saber: $G_n=G_{n-1}+G_{n-2}$ pero también puede ser calculado por $G_n=aF_{n-2}+bF_{n-1}$ dónde $G_1=a$ y $G_2+b$ son los valores iniciales.

Espero que alguien familiarizado con los GFN pueda decirme si ciertas sumas que he estado investigando ya han sido estudiadas o no. Me han dicho que sí, pero hasta ahora no he encontrado ningún artículo que trate con estas sumas en particular, y realmente me gustaría ver qué han hecho otros autores.

Mi trabajo:

Entonces, lo que he estado investigando son sumas y otras identidades que involucran más de una secuencia GFN a la vez. Las identidades que he visto solo se han ocupado de una secuencia GFN a la vez, o tal vez los GFN y los números de Fibonacci y Lucas.

Como Identidad 13 en la página 113 de Fibonacci y Lucas Numbers with Applications de Thomas Koshy:

$\sum_{i=1}^n G_{2i}=G_{2n+1}-a$

Las sumas que estoy considerando suman a través de múltiples secuencias GFN. Por ejemplo, puede comenzar con el primer término de la sucesión de Fibonacci, que se puede escribir como $G_(1,1)_1$ , dónde $(1,1)$ son $(a,b)$ , el primer y segundo término de la sucesión. Luego continuando con el segundo término de la sucesión $G(1,2)$ , Escrito como $G(1,2)_2$ . Cada vez que aumentamos $b$ por uno y $n$ por uno en la notación $G(a,b)_n$ .

Esto se puede escribir como: $\sum_{i=0}^n G(1,1+i)_{i+1}=nF_{n+2}+1$

La forma general de esta suma es: $\sum_{i=0}^n G(a,b+i)_{i+1}=G(a,b)_{n+3}+nF_{n+2}-F_{n+3}+2-b$

Entonces, ¿alguien sabe si este tipo de cosas ya se han estudiado? Si es así, me encantaría ver el artículo o los artículos que traten sobre este tipo de identidades.

En total, tengo alrededor de 10 identidades que se ocupan de múltiples secuencias GFN, ¡y me encantaría poder decir que son resultados novedosos!

Pero me doy cuenta de que estoy en un área muy transitada, por lo que no me sorprendería si esto ya se ha hecho.

Eric Stucky

Parece que estás haciendo un estudio serio de estas secuencias. En ese caso, ¿conoces el Fibonacci Quarterly ? Esta es una enorme lista de artículos sobre temas de Fibonacci; es muy probable que haya algunos artículos sobre las secuencias de Gibonacci (como las llaman Arthur Benjamin y Jennifer Quinn en Proofs that Really Count ), y si encuentra alguno, puede hacer clic para ver las referencias; Espero que puedas encontrar más de esa manera.

FofX

¡Eso soy! Sí, estoy familiarizado con el FQ, y tiene razón, tienen muchos artículos sobre las generalizaciones de Fibonacci, y he leído muchos de ellos, pero hasta ahora no he visto nada como el tema de mi pregunta. Es un poco complicado porque el FQ no tiene una función de búsqueda, solo tiene los artículos enumerados por tema. Así que siento que hay una buena posibilidad de que me haya perdido algo útil. Aunque me he puesto en contacto con algunos profesores y me han dicho que creen que mis resultados podrían ser nuevos y que debería enviar un trabajo y ver.

Respuestas (2)

¿Nuevas identidades para los números de Fibonacci generalizados?

Parece que estás haciendo un estudio serio de estas secuencias. En ese caso, ¿conoces el Fibonacci Quarterly ? Esta es una enorme lista de artículos sobre temas de Fibonacci; es muy probable que haya algunos artículos sobre las secuencias de Gibonacci (como las llaman Arthur Benjamin y Jennifer Quinn en Proofs that Really Count ), y si encuentra alguno, puede hacer clic para ver las referencias; Espero que puedas encontrar más de esa manera.
¡Eso soy! Sí, estoy familiarizado con el FQ, y tiene razón, tienen muchos artículos sobre las generalizaciones de Fibonacci, y he leído muchos de ellos, pero hasta ahora no he visto nada como el tema de mi pregunta. Es un poco complicado porque el FQ no tiene una función de búsqueda, solo tiene los artículos enumerados por tema. Así que siento que hay una buena posibilidad de que me haya perdido algo útil. Aunque me he puesto en contacto con algunos profesores y me han dicho que creen que mis resultados podrían ser nuevos y que debería enviar un trabajo y ver.

vonbrand · Answer 1

Sus números de Gibonacci se pueden escribir como combinaciones lineales de números de Fibonacci:

$\begin{align*} G^{a, b}_0 &= a - b, \quad G^{a, b}_1 = a \\ G^{a, b}_{n + 2} &= G^{a, b}_{n + 1} + G^{a, b}_n \end{align*}$

Defina la función generadora:

$\begin{align*} g^{a, b}(z) &= \sum_{n \ge 0} G^{a, b}_n z^n \end{align*}$

De la recurrencia:

$\begin{align*} \sum_{n \ge 0} G^{a, b}_{n + 2} z^n &= \sum_{n \ge 0} G^{a, b}_{n + 1} z^n + \sum_{n \ge 0} G^{a, b}_n z^n \\ \frac{g^{a, b}(z) - (a - b) - a z}{z^2} &= \frac{g^{a, b}(z) - (a - b)}{z} + g^{a, b}(z) \\ g^{a, b}(z) &= \frac{b - a - b z}{1 - z - z^2} \end{align*}$

Recuerda las funciones generadoras:

$\begin{align*} F(z) &= \sum_{n \ge 0} F_n z^n \\ &= \frac{z}{1 - z - z^2} \\ \frac{F(z) - F_0}{z} &= \sum_{n \ge 0} F_{n + 1} z^n \end{align*}$

De este modo:

$\begin{align*} g^{a, b}(z) &= \frac{F(z) (b - a)}{z} - a F(z) \\ G^{a, b}_n &= (b - a) F_{n + 1} - a F_n \end{align*}$

A partir de la función generadora (o la expresión explícita en términos de números de Fibonacci y sus identidades) se pueden derivar todo tipo de expresiones divertidas.

advaita · Answer 2

Todo tu $G_n$ son de la forma

{GRAMO}_{norte} = C_{1} ϕ^{norte} + C_{2} (- 1 / ϕ)^{norte}

$G_n = c_1 \phi^n + c_2 (-1/\phi)^n$ La única diferencia son las constantes.

c_{1}

$c_1$ y

c_{2}

$c_2$ . Con

G_{1} = a

$G_1 = a$ y

G_{2} = b

$G_2 = b$ , puedes resolver para

c_{1}

$c_1$ y

c_{2}

$c_2$ . Utilice esta fórmula para todas sus necesidades.

Sí, me doy cuenta de esto, solo preguntaba si este tipo de sumas se han estudiado antes o si son nuevas.
@FofX Es posible que se hayan estudiado antes o no, pero esto no es lo suficientemente interesante como para que la gente lo mire o lo estudie. Por ejemplo, nadie en el mundo habría añadido $433534534525 + 5242878954310$ . Pero, ¿lo hace interesante?
Yo no estaría de acuerdo contigo. No estoy seguro si entiendes cuáles son las sumas, aunque tal vez no lo dejé lo suficientemente claro en mi publicación.

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