Una propiedad interesante de los números de Fibonacci

Hoy hice un examen que tenía una pregunta que decía así:

a. Llamaremos a una secuencia binaria 'escasa' si no hay dos secuencias consecutivas$1$está en eso. Calcular el número de cadenas dispersas de longitud$n$.

b. Demuestre que todo número entero se puede expresar como la suma de números de Fibonacci distintos no consecutivos.

C. Demuestre que la suma en (b) es única.

d. Deriva (a) usando (b) y (c) o deriva (c) usando (a) y (b) .

Ahora, sé muy bien cómo encontrar la relación de recurrencia en (a) . También estudié las demostraciones de (b) y (c) hace un par de años, y no tuve mucha dificultad para construirlas de memoria.

Pero, me quedé atascado en (d) . Estaba tratando de entender cómo conectar los resultados de (a) , (b) y (c) . Después de pensarlo, se me ocurrió esta expresión.

$$\begin{equation*} S(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1F_1+x_2F_2+\dots +x_nF_n \end{equation*}$$ para una dada$k$dónde$F_n$es el número de Fibonacci más grande antes$k$y$x_i\in \{0,1\}\;\forall i\in\{1,2,\dots ,n\}$. Ahora, si queremos$S=k$, entonces la secuencia$x_1,x_2,\dots ,x_n$debe ser escaso. Pero, de (a) , sabemos que sólo hay$F_{n+2}$secuencias tan dispersas. Además, por (b) , existe una opción$(y_1,y_2,\dots ,y_n)=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$con$y_i\in \{0,1\}\;\forall i\in\{1,2,\dots ,n\}$tal que$S(y_1,y_2,\dots ,y_n)=k$. Además, es claro que los valores de$S$que podemos obtener cambiando las opciones de$x_i$están dispuestos en un orden estricto (es decir, dos de ellos no pueden ser iguales). Entonces, hay exactamente una opción de$x_i$es tal que$S=k$.

Pero, parece haber algo sospechoso en mi prueba. No he usado el hecho de que hay$F_{n+1}$opciones de$x_i$Está en cualquier lugar aquí. Entonces, ¿mi prueba es correcta? Si no es así, ¿es correcto mi enfoque? ¿Puede alguien por favor ayudarme con esto?