Término de matriz de masa en diagonal para fermiones y "truco de duplicación" en la teoría de m (matriz)

Dejar$M$sea ​​la matriz de masa para los fermiones$\psi_+$y para$\psi_-$(por separado). Se obtiene por$\not{D}\not{D^+}= -\partial_t^2+ M^2$

Entonces$M^2=r^2 \mathbb{Id_{16}}- \not{v}$, Ahora el$16*16$matriz$\not{v}$tiene una traza cero, y su cuadrado es$\vec v^2 Id_{16}$, por lo que la única posibilidad es que la matriz$\not{v}$tiene 8 valores propios$v$, y 8 valores propios$-v$(aquí$v$medio$\sqrt{\vec v^2}$). Entonces la matriz$M^2$tiene 8 valores propios$r^2+v$y 8 valores propios$r^2-v$. esto es cierto para$\psi_+$y para$\psi_-$, mientras$\psi_3$es obviamente sin masa.

[EDITAR]

Las matrices gamma de$SO(9)$son reales, entonces$\not{B}$es hermético.$\partial_t$es antihermítica (porque$i\partial_t$es hermitiano), por lo que a partir de$\not{D}=\partial_t-\not{B}$, Es fácil ver eso$\not{D}^{\dagger}=-\partial_t-\not{B}$

Si descuidas el orden de 3 términos en el Lagrangiano ($\psi^2Y, \psi^2A$), y aplicar la ecuación de Lagrange en$\psi_+$, usted obtiene$\not{D}\psi_-=0$. Y porqué$\psi_+ = (\psi_-)^*$, y$\not{B}$es real, tu también tienes$\not{D}\psi_+=0$

La matriz de masa se aplica por separado a$\psi_+$y$\psi_-$, simplemente porque$\psi_+ = (\psi_-)^*$, y la matriz de masa es real.