Pregunta elemental sobre la supersimetría global de una hoja de mundo [cerrado]

Estoy leyendo el capítulo 4 del libro de Green, Schwarz y Witten. Consideran una acción

$$S = -\frac{1}{2\pi} \int d^2 \sigma \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right), \tag{4.1.2},$$ dónde $\psi^\mu$son espinores de Majorana, $$\rho^0 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho^1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix},\tag{4.1.3}$$ $$\bar \psi = \psi^\dagger \rho^0.$$

Se afirma que esta acción es invariante bajo las siguientes transformaciones infinitesimales

$$\begin{align} \delta X^\mu &= \bar \varepsilon \psi^\mu,\\ \delta \psi^\mu &= -i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon, \tag{4.1.8} \end{align}$$ dónde $\varepsilon$es un espinor de Majorana constante (no depende de las coordenadas de la hoja de mundo).

No puedo probarlo. ¿Puedes mostrarme dónde me equivoco?

$$\delta \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu \right) = 2 \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha \bar \psi^\mu \varepsilon$$ (Solía $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$identidad).

$$\begin{multline} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = -i \overline{\left(-i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon\right)} \rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \left( -i \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right)\\ = - \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline}$$

Tenga en cuenta que

$$\begin{multline} \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} = \partial_\beta \psi_\mu^\dagger (\rho^\beta)^\dagger \rho^0 \equiv \partial_0 \psi_\mu^\dagger (\rho^0)^\dagger \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger (\rho^1)^\dagger \rho^0\\ = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 - \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^1 \rho^0 = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^1 \equiv \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta. \end{multline}$$

Entonces

$$\begin{multline} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = - \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon\\ \equiv - \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline}$$

¿Cómo puede desaparecer la variación? No veo ninguna posibilidad. Les recuerdo que la simetría es global, por lo que ni siquiera podemos integrar por partes.