Reducción dimensional de la teoría de Yang-Mills a m (atrix)

Las acciones de Yang-Mills suelen estar dadas por

$$S= \int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$

con la intensidad de campo definida como$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-ig\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$,$A_{\mu}$siendo un campo de calibre hermitiano U (N) en la representación adjunta,$\theta$ser un$16\times1$Espinor de Majorana-Weyl de$SO(9)$en la representación adjunta y$\mu=0,\dots,9$. La derivada covariante viene dada por$D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta-ig\left[A_{\mu},\theta\right]$. Estamos usando una métrica con signos en su mayoría positivos.

Reescalamos los campos por$A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$y deja$g^{2}\to\lambda$que nos da

$$S=\int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(\frac{1}{4\lambda}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$ con la intensidad de campo definida como $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$y la derivada covariante $D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A_{\mu},\theta\right]$.

Ahora realizamos una reducción dimensional de $9+1$a $0+1$, de modo que todos los campos solo dependen del tiempo, por lo que todos los derivados espaciales desaparecen, es decir $\partial_{a}(\text{Anything})=0$. El $10$-campo vectorial dimensional se descompone en $9$campos escalares $A_{a}$que renombramos $X^{a}$y un campo de calibre $A_{0}$que renombramos $A$. Esto da (tenga en cuenta que $\gamma^{t}=\mathbb{I}$y eso $\gamma^{a}=\gamma_{a}$. $$F_{0a}= \partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right],\quad F_{ab}=+\left[X^{a},X^{b}\right] \gamma^{t}D_{t}\theta= \partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right],\quad\gamma^{a}D_{a}\theta=\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]$$

La acción para esta teoría es entonces

$$S=\int\text{d}t\,\text{Tr}\left(\frac{1}{2\lambda}\bigg\{-\left(D_{t}X^{a}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}\bigg\}-\theta^{T}D_{t}\theta-\theta^{T}\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]\right)$$ con la derivada covariante definida como $D_{t}X^{a}=\partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right]$y $D_{t}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right]$

Ahora a la pregunta. necesito la energia potencial $V=+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$ser negativo, no positivo.

Taylor tiene una discusión sobre esto en su artículo "Lectures on D-branes, Gauge Theory and M(atrices)" ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9801182 ) en la página 10, donde escribe:
" Debido a que la métrica que estamos utilizando tiene una firma mayoritariamente positiva, los términos cinéticos tienen un único índice 0 elevado que corresponde a un cambio de signo, por lo que los términos cinéticos tienen el signo correcto. $\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$que actúa como un término potencial es en realidad definido negativo. Esto se sigue del hecho de que $\left[X^{a},X^{b}\right]^{\dagger}=\left[X^{b},X^{a}\right]=-\left[X^{a},X^{b}\right]$. Por lo tanto, como se esperaba, los términos cinéticos en la acción son positivos mientras que los términos potenciales son negativos".

Pero no entiendo dónde se conjuga el hermitiano $^\dagger$viene de, para mí este término es simplemente: $$\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}=\left[X^{a},X^{b}\right]\left[X_{a},X_{b}\right]$$

Tenga en cuenta que Taylor usa convenciones un poco diferentes cuando vuelve a escalar, en lugar de $A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$él usa $A_{\mu}\to\frac{1}{g}A_{\mu}$y $\theta \to\frac{1}{g}\theta$. Pero esto no debería causar ningún problema, creo.