¿Cómo la extensión de una teoría de Chern-Simons al conjunto corrige las singularidades potenciales?

Question

¿Cómo la extensión de una teoría de Chern-Simons al conjunto corrige las singularidades potenciales?

Física
topología
integral de trayectoria
chern-simons-theory
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

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Según ref.1 (§A.3), la definición ingenua de Chern-Simons

\begin{matrix} (A.17) & S [A] = k \int_{METRO} C S [A] \end{matrix}

$S[A]=k\int_M \mathrm{CS}[A]\tag{A.17}$ está mal definido, porque

A

$A$ puede tener "singularidades de cadena de Dirac". La solución es extender

M

$M$ a granel, tal que

M = \partial X

$M=\partial X$ y definir

\begin{matrix} (A.18) & S [A] = k \int_{X} C (F) \end{matrix}

$S[A]=k\int_X c(F)\tag{A.18}$ con

c

$c$ la forma de Chern de

F = d A

$F=\mathrm dA$ . Se argumenta que, siempre que

k

$k$ correctamente cuantificada, esta integral es independiente de

X

$X$ y de la extensión de

A

$A$ .

Pero, ¿cómo soluciona este procedimiento las posibles "singularidades de las cadenas de Dirac"? Nos estamos integrando sobre todo $A$ , y por tanto tendremos configuraciones singulares independientemente de que utilicemos $\mathrm A.17$ o $\mathrm A.18$ . ¿Cómo se extiende $A$ en la ayuda masiva para eliminar estas configuraciones singulares?

Referencias.

N. Seiberg, E. Witten, Fases de límite con brechas de aisladores topológicos mediante acoplamiento débil , https://arxiv.org/abs/1602.04251 .

Respuestas (1)

¿Cómo la extensión de una teoría de Chern-Simons al conjunto corrige las singularidades potenciales?

Lorenz Mayer · Answer 1

Si el triple $M$ contiene una doble variedad $\Sigma$ tal que la intensidad de campo $F$ es suave en $\Sigma$ pero

\int_{Σ} F \neq 0,

$\int_\Sigma F \neq 0 \ ,$

entonces no podemos encontrar un suave $A$ en $\Sigma$ tal que $F = d A$ . la densidad de Chern-Simons

C S [A] \sim A \land F

$CS[A] \sim A \wedge F$

contiene lo bien definido $F$ , sino también los mal definidos $A$ , por lo que no está claro si su integral tiene sentido.

Por otro lado, el cuadrado de la primera forma de Chern

C (F) \sim F \land F

$c(F) \sim F \wedge F$

está bien definido incluso en presencia de monopolos, por lo que podemos integrarlo. Acentuar: el singular $A$ todavía están integrados, pero dan un resultado finito.

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