Integral de trayectoria y cuantización geométrica

En el caso especial de cuantización geométrica con respecto a una polarización de Kähler (que cubre la integral de trayectoria para spin over$S^2$mencionado en la pregunta), existe una forma rigurosa de definir una integral de camino, es decir, con respecto a una medida bien definida en el espacio de caminos. Consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de Laurent Charles. Este tipo de integral de trayectoria fue propuesto por FA Berezin en su famoso artículo sobre símbolos de operadores covariantes y contravariantes. (Hay una versión en línea en ruso en la que se da una versión diferenciada en la última página (antes de las referencias)).

En realidad, Witten usó esta integral de trayectoria en su obra seminal Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones , pero no la mostró explícitamente. La forma utilizada por Witten, que se describirá aquí, es una representación integral de trayectoria de un bucle de Wilson. Aquí escribiré este caso especial de la integral de trayectoria en una forma más comprensible y trataré de explicar la intuición física detrás de esto.

$\left < tr_{\mathcal{H}}T\{exp(i\int_0^T B^{a}(t) \sigma_a)\}\right > = \mathrm{lim}_{m\rightarrow \infty}\int exp\big (i\int _0^T \alpha^{\mathcal{H}}_i\dot{z}^i - \bar{\alpha}^{\mathcal{H}}_i \dot{\bar{z}}^i + \frac{m}{2}g_{i\bar{j}}\dot{z}^i \dot{\bar{z}}^j+B^{a} (t)\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})\big) \mathcal{D}z\mathcal{D}\bar{z}$

El lado izquierdo es la traza de un producto ordenado en el tiempo de un giro (o más generalmente un elemento de un álgebra de Lie$\sigma_a)$) acoplado a un campo magnético externo$B^{a}$en la representación$\mathcal{H}$. Como explica Witten según el teorema de Borel Weil Bott, a cada representación le corresponde una órbita coadjunta con una forma de Kähler dada$\omega^{\mathcal{H}}$dependiendo de la representación$\mathcal{H}$. La integral de trayectoria se realiza sobre esta variedad. Es una integral de trayectoria riemanniana cuya acción contiene 3 tipos de términos: Los primeros términos en función de los potenciales simplécticos$\alpha^{\mathcal{H}}$satisfactorio:$\omega^{\mathcal{H}} =d\alpha^{\mathcal{H}}$. Este término tiene la forma de una interacción con un monopolo magnético.

El segundo término es el término de energía cinética de Riemann. El tercer término es proporcional a las funciones hamiltonianas.$\Sigma^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})$cuyos corchetes de Poisson satisfacen el álgebra de Lie en la órbita coadjunta. Este término es del tipo de interacción con un campo magnético externo variable en el tiempo.

Así, en resumen, la integral de trayectoria es una integral de trayectoria no relativista sobre una variedad de Riemann en presencia de campos magnéticos. En otras palabras, el hamiltoniano correspondiente es un operador magnético de Schrödinger. Como es bien sabido, las soluciones a este tipo de problemas son los niveles de Landau y el nivel de Landau más bajo es el degenerado en general.

La observación crucial es que cuando la masa de la partícula$m$tiende al infinito, las energías del nivel de Landau excitado se vuelven muy altas y se desacoplan, por lo que nos quedamos con el nivel de Landau más bajo que resulta ser exactamente la representación$\mathcal{H}$partimos de.

Vale la pena mencionar que esta forma de integral de camino tiene otras aplicaciones y fue utilizada en trabajos sobre ferromagnetos de Heisenberg y confinamiento de quarks.

Tengo que admitir que no entiendo completamente tu pregunta, pero trato de responderla :)

Después de realizar el procedimiento de cuantización geométrica (precuantificación y polarización) se obtiene un espacio de Hilbert bien definido (que en general es de dimensión infinita). Además, en condiciones adecuadas, puede cuantificar los observables clásicos para obtener operadores cuánticos. Suponga que obtiene un operador de Hamilton$H$. Entonces puede reformular esta teoría "cuántica" en el formalismo de integral de camino. Se puede encontrar una discusión sobre la integral de trayectoria en el marco de la cuantización geométrica en el libro estándar: Woodhouse: Cuantización geométrica.

Comentario adicional: las integrales de trayectoria también se definen para espacios de Hilbert de dimensión finita. Son aún más simples ya que la "integral sobre todos los caminos" se reduce a una "suma sobre todos los estados intermedios posibles". Google debería ayudarlo con las integrales de ruta en sistemas de dos o muchos estados (p. ej., http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2008/lec22.pdf ).