Término adicional en la corriente de Noether

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Término adicional en la corriente de Noether

Física
simetría
teorema de noethers
leyes-de-conservacion
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo

cuantos

He visto esta misma pregunta antes ¿ Por qué hay un término adicional en la definición de la corriente de Noether para las traducciones del espacio-tiempo? pero no entendí la respuesta que me dieron, así que me gustaría volver a preguntar:

Si los campos/coordenadas se cambian de manera que las ecuaciones EL todavía se cumplen después de la transformación, hay una corriente de Noether conservada:

j^{m} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{m} (d ϕ) + L d X^{m}

$J^\mu = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)+L\delta x^\mu$

Esto se debe a que si se obedecen las ecuaciones de EL, tenemos $\delta S=0$ . Pero:

d S = \int d L d X^{4}

$\delta S=\int \delta L dx^{4}$

d L = \frac{\partial L}{\partial X^{m}} d X^{m} + \frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d (\partial_{m} ϕ)

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial L}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\delta (\partial_{\mu}\phi)$

El primer término de la derecha existe solo cuando el Lagrangiano tiene una dependencia de coordenadas explícita. Asumimos que el sistema obedece a las ecuaciones EL y por lo tanto el término medio puede ser reemplazado y el último término ajustado:

d L = \frac{\partial L}{\partial X^{m}} d X^{m} + \frac{\partial}{\partial X^{m}} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) d ϕ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{m} (d ϕ)

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\right)\delta \phi+\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta \phi)$

si le sumamos el termino $L\delta(\partial_{\mu}x)=0$ del lado derecho y nos imponemos $\delta L=0$ , que podemos hacer siempre que $\delta\phi$ y $\delta x^{\mu}$ no son cero en el límite, obtenemos:

\partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{m} (d ϕ) + L d X^{m}) = 0

$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)+L\delta x^\mu\right)=0$

Claramente para un Lagrangiano que no depende explícitamente de las coordenadas el $L\delta x^{\mu}$ debería estar ausente, pero todavía veo esta fórmula utilizada para lagrangianos que no tienen una dependencia de coordenadas explícita. ¿Puede alguien por favor explicarme esto?

mis2cts

¿Qué es lo que no entiendes sobre las respuestas dadas en la publicación vinculada?

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Término adicional en la corriente de Noether

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ILoveCFT · Answer 1

Considere la derivada total de la densidad de Langrange con respecto a la posición,

\frac{d L}{d X} = \frac{\partial Φ}{\partial X} \frac{\partial L}{\partial Φ} + \frac{\partial d Φ}{\partial X} \frac{\partial L}{\partial d Φ} + \frac{\partial L}{\partial X}

$\frac{dL}{dx}=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi}+\frac{\partial L}{\partial x}$

Con

d Φ = d a \frac{\partial Φ}{\partial X}, d d Φ = d (d a \frac{\partial Φ}{\partial X}) = d a \frac{\partial d Φ}{\partial X}

$\delta\Phi = \delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x}, d\delta\Phi = d(\delta a \frac{\partial\Phi}{\partial x})=\delta a \frac{\partial d\Phi}{\partial x}$ Encontramos la variación de la densidad de Langrange con respecto a nuestro campo:

d_{Φ} L = d Φ \frac{\partial L}{\partial Φ} + d d Φ \frac{\partial L}{\partial d Φ} = d a (\frac{\partial Φ}{\partial X} \frac{\partial L}{\partial Φ} + \frac{\partial d Φ}{\partial X} \frac{\partial L}{\partial d Φ})

$\delta_{\Phi}L=\delta\Phi \frac{\partial L}{\partial \Phi} + d\delta\Phi\frac{\partial L}{\partial d\Phi}=\delta a (\frac{\partial\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \Phi} +\frac{\partial d\Phi}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial d\Phi})$

Uno puede ver que si $\frac{\partial L}{\partial x}=0$ , lo que significa que cuando no tenemos una dependencia de coordenadas explícita, se cumple lo siguiente:

d_{a} L = d_{Φ} L

$\delta_a L = \delta_\Phi L$ Y esta llamada condición de invariancia te da el término que pides. Invariancia con respecto al campo:

d_{Φ} L = \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} Φ_{k})}) (d Φ_{k})

$\delta_\Phi L=\partial_\mu(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \Phi_k)})(\delta\Phi_k)$ Invariancia con respecto a la posición:

d_{a} L = \partial_{m} L d X^{m}

$\delta_a L= \partial_\mu L\delta x^{\mu}$ La reorganización da la solución deseada. Como puede ver, la condición de invariancia no hace que el último término esté ausente, este término es necesario. Puedes ver esto de la siguiente manera. Cuando realiza una variación en su densidad de Langrange, hay dos efectos: primero, el campo cambia; segundo, la base cambia. El último término te da el efecto de "cambio de base" en un punto dado.

Una segunda forma de "esperar" una dependencia coordinada puede explicarse a partir de la interpretación de la condición de invariancia. Invariancia significa que las ecuaciones de movimiento en un sistema bajo una traslación no cambian. Entonces debemos considerar las transformaciones del siguiente tipo:

L \to L + \partial_{m} j^{m}

$\mathcal{L}\rightarrow \mathcal{L}+\partial_{\mu}J^{\mu}$ En la variación de la acción, se puede simplificar el segundo término a una integral de superficie con el teorema de Stokes, y los términos de la superficie se consideran cero en el cálculo de la variación. Por lo tanto podemos ver el término

J^{μ}

$J^{\mu}$ también se conserva, y la corriente de Noether también debe depender de este término. Este término se puede calcular como la derivación anterior.

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mis2cts

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