Simetría de las ecuaciones de Euler-Lagrange y leyes de conservación

Question

Simetría de las ecuaciones de Euler-Lagrange y leyes de conservación

Física
simetría
teorema de noethers
leyes-de-conservacion
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo

krishna tripathi

La simetría continua de la acción implica una ley de conservación, pero ¿y si las ecuaciones de movimiento tienen una simetría continua? ¿Implica una ley de conservación?
¿También es la simetría de las ecuaciones de movimiento una simetría de la acción?

Supongo que las ecuaciones de movimiento de las que hablo se derivan de la acción, es decir, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones de Euler-Lagrange. Los ejemplos relacionados podrían ayudar y las referencias también.

Andrés

Para probar el teorema de Noether necesitas un lagrangiano. En general, si tiene ecuaciones de movimiento que no se derivan de un lagrangiano, entonces no tiene garantizada una ley de conservación. Puede ver una prueba del teorema de Noether en el capítulo 1 de estas notas: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Un ejemplo de una ecuación de movimiento (que no se deriva de un lagrangiano) que tiene invariancia de traslación en el tiempo pero no conserva la corriente sería un oscilador armónico amortiguado.

krishna tripathi

Supongo que la ecuación de movimiento de la que estoy hablando se deriva del Lagrangiano que define la acción

Andrés

Si la ecuación de movimiento proviene de un lagrangiano y el lagrangiano tiene una simetría continua, entonces el teorema de Noether te garantiza una corriente conservada.

krishna tripathi

Lo siento, pero estoy preguntando de otra manera si lees la pregunta detenidamente, ningún teorema es cuando la acción tiene la simetría, no la ecuación del movimiento.

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/51327/2451

John

Solo un comentario: incluso sin el Lagrangiano todavía es posible establecer una relación entre simetrías y leyes de conservación, no es uno a uno, por supuesto. Alguna discusión está en arxiv.org/abs/1001.0091

Respuestas (2)

Simetría de las ecuaciones de Euler-Lagrange y leyes de conservación

Para probar el teorema de Noether necesitas un lagrangiano. En general, si tiene ecuaciones de movimiento que no se derivan de un lagrangiano, entonces no tiene garantizada una ley de conservación. Puede ver una prueba del teorema de Noether en el capítulo 1 de estas notas: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Un ejemplo de una ecuación de movimiento (que no se deriva de un lagrangiano) que tiene invariancia de traslación en el tiempo pero no conserva la corriente sería un oscilador armónico amortiguado.
Supongo que la ecuación de movimiento de la que estoy hablando se deriva del Lagrangiano que define la acción
Si la ecuación de movimiento proviene de un lagrangiano y el lagrangiano tiene una simetría continua, entonces el teorema de Noether te garantiza una corriente conservada.
Lo siento, pero estoy preguntando de otra manera si lees la pregunta detenidamente, ningún teorema es cuando la acción tiene la simetría, no la ecuación del movimiento.
Solo un comentario: incluso sin el Lagrangiano todavía es posible establecer una relación entre simetrías y leyes de conservación, no es uno a uno, por supuesto. Alguna discusión está en arxiv.org/abs/1001.0091

Trimok · Answer 1

Trimok

Diferentes Lagrangianos podrían dar la misma ecuación de movimiento. Si agrega variables no dinámicas, podría presentar un Lagrangiano sin simetrías, mientras que la ecuación de movimiento tiene simetrías.

Por ejemplo, tomemos el Lagrangiano:

L (X, F) = \frac{F^{2}}{2} + \dot{F} X

$L(x,f) = \frac{f^2}{2}+\dot f ~x$

Ecuaciones de Euler-Lagrange (aplicadas a $x$ y $f$ ) dar :

\dot{F} = 0, F = \dot{X}

$\dot f = 0, f = \dot x$

Eso es :

\ddot{X} = 0, F = \dot{X}

$\ddot x=0, f = \dot x$

El lagrangiano no respeta explícitamente la traducción $x$ -invariancia (debido al término $x$ ), pero las ecuaciones de movimiento respetan la traslación. $x$ -invariancia, y $\dot x$ es una cantidad conservada.

$f$ no es dinámico, porque podemos reemplazar $f$ por su valor debido a la ecuación de movimiento y obtener un Lagrangiano:

L (X) = \frac{{\dot{X}}^{2}}{2}

$L(x) = \frac{\dot x^2}{2}$

Con aplicaciones de la ecuación de Euler-Lagrange, obviamente obtenemos la misma ecuación de movimiento $\ddot x = 0$ . Este último lagrangiano obviamente respeta la traslación $x$ -invariancia.

Andrés

La acción de este lagrangiano es invariante bajo traslaciones. El lagrangiano solo necesita ser invariante hasta una derivada total para que la acción sea invariante, que es este lagrangiano:

δ L = \dot{f}

$\delta L=\dot{f}$ .

Trimok

@Andrew: es cierto que puede agregar un derivado total

- \frac{d (f x)}{d t}

$-\frac {d (fx)}{d t}$ Llegar

L^{'} (x, f) = \frac{f^{2}}{2} - f \dot{x}

$L'(x,f) = \frac{f^2}{2} -f \dot x$ que es invariante traslacional, pero tiene términos superficiales

[f x]_{t_{1}}^{t_{2}}

$[fx]_{t_1}^{t_2}$ , y no son explícitamente invariantes traslacionales.

Andrés

He estado mirando esto durante una hora, mi primer pensamiento fue que obviamente estás equivocado pero no lo estás y esta es una sutileza muy interesante. Es extraño ya que nada sucede físicamente en

t_{1}

$t_1$ o

t_{2}

$t_2$ para romper explícitamente cualquier simetría. Mi resolución sería decir que el lagrangiano 'correcto' es

\frac{f^{2}}{2} + \dot{f} x - \frac{d (f x)}{d t}

$\frac{f^2}{2}+\dot{f} x - \frac{d(fx)}{dt}$ , entonces si cambias

x \to x + a

$x\rightarrow x+a$ la acción cambia por

δ S = a ([f]_{t_{1}}^{t_{2}} - [f]_{t_{1}}^{t_{2}}) = 0

$\delta S = a ([f]_{t_1}^{t_2}-[f]_{t_1}^{t_2})=0$ y es invariante tras la traducción. Pero ese es un punto muy interesante. Sin embargo, no quiero descarrilar esta pregunta, así que lo revisaré.

Trimok

@Andrew: A partir del lagrangiano

L (x, f) = (\frac{f^{2}}{2} + \dot{f} x)

$L(x,f) = (\frac{f^2}{2}+\dot f ~x)$ , podrías escribir este lagrangiano

L (x, f) = L^{'} (x, f) + \frac{d (x f)}{d t}

$L(x,f) = L'(x,f) + \frac{d(xf)}{dt}$ , dónde

L^{'} (x, f) = (\frac{f^{2}}{2} - f \dot{x})

$L'(x,f) = (\frac{f^2}{2} - f ~\dot x)$ es invariante traslacional. Pero, de todos modos, al mirar la acción

S_{12} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L

$S_{12} = \int_{t_1}^{t_2}L$ , con una traducción

x \to x + a

$x \rightarrow x+a$ , usted obtiene

S_{12} \to S_{12} + a (f (t_{2}) - f (t_{1}))

$S_{12}\rightarrow S_{12} + a(f(t_2) - f(t_1))$ . Por tanto, no existe una invariancia traslacional explícita de la acción. Sin embargo, sumando las ecuaciones de movimiento

\dot{f} = 0

$\dot f=0$ , encontramos eso

S_{12}

$S_{12}$ es invariante. Así, podríamos hablar de simetría "oculta" de la acción.

Andrés · Answer 2

No puede probar la existencia de una corriente conservada directamente a partir de las ecuaciones de movimiento en general, dado que las ecuaciones de movimiento tienen una simetría continua.

Un contraejemplo de esto es un oscilador armónico amortiguado, $\ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega^2 x=0.$ Esto es invariante bajo $t\rightarrow t+\delta t$ , pero no tiene una cantidad conservada.

Ahora, dada una ecuación específica de movimiento, puedes buscar constantes de movimiento. Por ejemplo, dado $\ddot{x}=V'(x)$ puede probar que la energía se conserva. Por ejemplo, vea Primera integral de una ecuación de movimiento: $\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}$ . Pero es difícil ver cómo este método se relaciona con cualquier simetría particular del eom, en lugar de la estructura algebraica particular de los eoms.

Para relacionar simetrías con cantidades conservadas, debe usar la formulación de acción, como sabe. Las simetrías de la acción son siempre simetrías de las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, no todas las ecuaciones de movimiento tienen una acción correspondiente (como el oscilador armónico amortiguado). No hay teorema de nadie que opere directamente a nivel de los eoms, por eso sigo volviendo a la acción.

Parece que quieres saber al revés, ¿son las simetrías de los eoms siempre simetrías de la acción? No veo cómo esto podría dejar de ser el caso, pero admito que no puedo probarlo de la parte superior de mi cabeza. Esta es la razón por la que creo que las simetrías de los eoms deberían ser simetrías de la acción: digamos que la simetría es la invariancia de la traducción solo por simplicidad, podría generalizar este argumento a cualquier simetría fácilmente. Digamos que los eoms son invariantes a la traducción. Entonces puedo configurar mi sistema en la posición $A$ , déjelo evolucionar clásicamente y vea qué sucede. Luego muevo mi sistema para que esté en posición $B$ y configurarlo con idénticas condiciones iniciales. Exactamente el mismo movimiento debe ocurrir en la posición $B$ por invariancia de traducción. Pero la acción es solo una función de la ruta tomada; necesitaría obtener un número diferente para la acción evaluada en las rutas tomadas en la posición $A$ entonces obtendría si evaluara la acción en los caminos en la posición $B$ . Pero como la física no distingue entre $A$ y $B$ cómo podría ser esto cierto: simplemente calculando la acción podría saber si estaba en $A$ o $B$ . Es cierto que no es una prueba, pero es por eso que no creo que sea cierto. Incluso si pudieras encontrar una simetría de los eoms que no fuera una simetría de la acción, no podrías usar el teorema de Noether para mostrar que hay una cantidad conservada, por lo que no habría una cantidad conservada asociada con eso. simetría.

Sin embargo, no todas las leyes de conservación se derivan de las simetrías.

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