Carga de Noether y clase de equivalencia de corrientes de Noether

Deje que alguna teoría de campo sea descrita por la densidad lagrangiana${\cal L}$sobre el espacio-tiempo. El primer teorema de Noether afirma que dada una cuasisimetría$\hat{\delta}\phi$hay una clase de corrientes$j^\mu$tal que

$$\partial_\mu j^\mu =E\hat{\delta}\phi\tag{1}$$ dónde$E$son las ecuaciones de movimiento.

Dos corrientes de la misma clase se diferencian por una corriente trivial que puede ser (1) una corriente que se desvanece de forma idéntica en el caparazón, (2) una corriente que se conserva incluso fuera del caparazón y (3) cualquier combinación de estas.

El segundo teorema de Noether establece que cuando la cuasisimetría es local , es decir, parametrizada por una función$f$, una de esas corrientes asociadas a ella, verificando (1), es alguna$S^\mu$que se desvanece en la concha$S^\mu\approx 0$. Por lo tanto, cualquier otra corriente en la clase$j^\mu$verifica

$$\partial_\mu(j^\mu - S^\mu)=0\Longrightarrow j^\mu=S^\mu+\partial_\nu k^{[\mu\nu]}\tag{2}.$$

En este artículo de G. Barnich y F. Brandt, los autores dicen que esto da lugar a un "rompecabezas de carga de Noether":

Tenga en cuenta que el superpotencial es completamente arbitrario porque sale de (1.1) [Eq. (1) de esta publicación] debido a$\partial_\mu\partial_\nu k^{[\nu\mu]}=0$. Esto implica que la carga de Noether correspondiente$\delta_f$no está definida porque está dada por la integral de superficie de un$(n-2)$forma.

1. ¿Cómo no ocurre el mismo problema para una simetría global para la que no se aplica el segundo teorema de Noether? Quiero decir, la clase actual de tal simetría ya no es trivial. Aún así, si$j^\mu$es una corriente en la clase siempre podemos agregar alguna$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$. ¿En qué se diferencia esto del caso local?

2. Más importante aún si definimos la carga de Noether integrando$j^\mu$sobre una superficie de Cauchy$\Sigma$¿La carga, en el caso global, está bien definida? Porque veo el mismo problema en el caso global. Dejar$j^\mu$ser una corriente en la clase. Obtenemos otro sumando$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$, entonces la carga cambia por un término de frontera en$\partial \Sigma$.