¿Se puede escribir un hamiltoniano en ausencia de un lagrangiano?

Question

¿Se puede escribir un hamiltoniano en ausencia de un lagrangiano?

Física
hamiltoniano
teoría de campo
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Juan Pérez

¿Cómo puedo definir el hamiltoniano independiente del lagrangiano? Por ejemplo, supongamos que tengo un conjunto de ecuaciones de campo que no se pueden integrar a una acción. ¿Existe alguna prescripción para construir el hamiltoniano de tal sistema a partir de las ecuaciones de campo?

Emilio Pisanty

Depende de lo que entiendas por hamiltoniano. Si quiere decir '¿existe un sistema cuya dinámica se pueda reformular como las ecuaciones de Hamilton, pero para el cual no hay un lagrangiano que reproduzca la dinámica y se transforme en el hamiltoniano correcto?', debe expresar eso en la pregunta. (Si no, use una declaración igualmente precisa). Ese caso es respondido negativamente por hamiltonianos lineales como

H = p

$H=p$ .

Juan Pérez

ok, déjame darte el ejemplo más simple que se me ocurre. Considere que tengo la siguiente ecuación de campo para un tensor simétrico de rango 2

h_{μ ν} : η^{ρ σ} \partial_{μ} \partial_{ν} h_{ρ σ} + η_{μ ν} \partial_{ρ} \partial_{σ} h^{ρ σ}

$h_{\mu\nu}: \eta^{\rho \sigma} \partial_\mu \partial_\nu h_{\rho\sigma} + \eta_{\mu\nu} \partial_{\rho} \partial_{\sigma} h^{\rho\sigma}$ . Obviamente, tal ecuación de campo puede provenir de

L = η^{ρ σ} \partial_{μ} h^{μ ν} \partial_{ν} h_{ρ σ}

$L = \eta^{\rho\sigma} \partial_\mu h^{\mu\nu} \partial_\nu h_{\rho \sigma}$ . Pero si cambio los coeficientes relativos entre dos términos en la ecuación de campo, entonces ya no puedes encontrar un Lagrangiano para tal ecuación de campo.

arturo suvorov

Creo que lo que está preguntando se encuentra bajo el título general de 'Problema inverso para la mecánica Lagrangiana/Hamiltoniana'. Hay un teorema debido a Douglas (1941) que da un conjunto de condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales existe un Lagrangiano para cualquier EDO dada. Estoy seguro de que puede extraer las condiciones sobre la existencia de un hamiltoniano a partir de esto. El problema es mucho más difícil para los sistemas PDE generales, pero creo que todavía es un campo de investigación bastante activo.

Emilio Pisanty

@JohnDoe Su ejemplo es, en principio, interesante, pero ¿es realmente necesario el lenguaje de campo? Seguramente, el problema son los fundamentos de la mecánica, y debería haber al menos una versión discretizada, con suerte una de un solo dof, con el mismo problema central. Además, mencionó "ecuación", pero en realidad no mostró ningún signo igual.

Respuestas (2)

¿Se puede escribir un hamiltoniano en ausencia de un lagrangiano?

Depende de lo que entiendas por hamiltoniano. Si quiere decir '¿existe un sistema cuya dinámica se pueda reformular como las ecuaciones de Hamilton, pero para el cual no hay un lagrangiano que reproduzca la dinámica y se transforme en el hamiltoniano correcto?', debe expresar eso en la pregunta. (Si no, use una declaración igualmente precisa). Ese caso es respondido negativamente por hamiltonianos lineales como $H=p$ .
ok, déjame darte el ejemplo más simple que se me ocurre. Considere que tengo la siguiente ecuación de campo para un tensor simétrico de rango 2 $h_{\mu\nu}: \eta^{\rho \sigma} \partial_\mu \partial_\nu h_{\rho\sigma} + \eta_{\mu\nu} \partial_{\rho} \partial_{\sigma} h^{\rho\sigma}$ . Obviamente, tal ecuación de campo puede provenir de $L = \eta^{\rho\sigma} \partial_\mu h^{\mu\nu} \partial_\nu h_{\rho \sigma}$ . Pero si cambio los coeficientes relativos entre dos términos en la ecuación de campo, entonces ya no puedes encontrar un Lagrangiano para tal ecuación de campo.
Creo que lo que está preguntando se encuentra bajo el título general de 'Problema inverso para la mecánica Lagrangiana/Hamiltoniana'. Hay un teorema debido a Douglas (1941) que da un conjunto de condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales existe un Lagrangiano para cualquier EDO dada. Estoy seguro de que puede extraer las condiciones sobre la existencia de un hamiltoniano a partir de esto. El problema es mucho más difícil para los sistemas PDE generales, pero creo que todavía es un campo de investigación bastante activo.
@JohnDoe Su ejemplo es, en principio, interesante, pero ¿es realmente necesario el lenguaje de campo? Seguramente, el problema son los fundamentos de la mecánica, y debería haber al menos una versión discretizada, con suerte una de un solo dof, con el mismo problema central. Además, mencionó "ecuación", pero en realidad no mostró ningún signo igual.

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v2):

En primer lugar, recalquemos que OP es correcto, que un conjunto dado de ecuaciones de movimiento no necesariamente tiene un principio variacional/de acción, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.
Por un lado, si existe una formulación lagrangiana , entonces en principio se puede obtener una formulación hamiltoniana a través de una (posible singular) transformación de Legendre . Tradicionalmente esto se hace a través del recetario/libro de cocina de Dirac-Bergmann, véase, por ejemplo, Refs. 1-2.
Por otro lado, si tenemos una formulación hamiltoniana (posiblemente restringida), del tipo discutido en las Refs. 1 y 2, entonces es posible dar una formulación de acción hamiltoniana, que en sí misma puede interpretarse como una formulación lagrangiana, por ejemplo, después de la integración de las variables de impulso a lo largo de las líneas indicadas en mi respuesta Phys.SE aquí .
En otras palabras, las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas tradicionalmente van de la mano. Por lo tanto, no está claro qué está buscando exactamente OP.

Referencias:

PAM Dirac, Conferencias sobre QM, (1964).
M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994.

(-1) Cualquier conjunto de ecuaciones se puede poner en un entorno lagrangiano agregando grados de libertad adicionales no observables. Para $F(x)=0$ añadir nuevas variables $y$ y tomar $L=\langle y|F(x)|\rangle\>$ . Variación de $y$ da $F(x)=0$ y variación de $x$ da $F'(x)^Ty=0$ que en muchos casos es equivalente $y=0$ - lo que lo hace inobservable ya que nunca cambia.
El lado lagrangiano (y su viabilidad general) se ha discutido ampliamente en varios hilos aquí: physics.stackexchange.com/q/20188 physics.stackexchange.com/q/4749 physics.stackexchange.com/q/167027 physics.stackexchange.com /q/147341

Arnold Neumaier · Answer 2

Las ecuaciones de campo deben ser conservadoras en un sentido bastante preciso para que esto pueda hacerse en un sentido físicamente apropiado.

Luego hay varios enfoques hamiltonianos de la teoría de campos: el formalismo de De Donder-Weyl y el formalismo multisimpléctico . Aunque ambos formalismos pueden acomodar lagrangianos, también se pueden entender sin ningún lagrangiano, en una forma puramente hamiltoniana. Ambos formalismos se pueden hacer completamente covariantes.

Esto es válido para los campos clásicos. Cómo cuantificar una teoría en uno de estos formalismos es muy poco conocido.

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