En la teoría hamiltoniana de campos, ¿conmutan las derivadas espaciales con corchetes de Poisson?

Estoy revisando algunas de mis viejas notas para un proyecto actual, y estoy tratando de averiguar si cometí un error o si una vez supe algo que ahora he olvidado.

Considere una teoría de campo local que contiene un conjunto de campos$\phi^{(a)}$, para la cual la densidad lagrangiana es

$$\mathcal{L}(\phi^{(a)}, \dot{\phi}^{(a)}, \partial_i \phi^{(a)} ).$$ Aquí, $\partial_i$significa solo derivados espaciales, es decir, ya hemos hecho una descomposición en una foliación preferida del espacio-tiempo (si es necesario). Podemos definir un conjunto de momentos de campo conjugados a través de la relación habitual: $$\pi^{(a)} \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \dot{\phi}^{(a)} }.$$ La densidad hamiltoniana será entonces $$\mathcal{H} = \sum_a \pi^{(a)}\dot{\phi}^{(a)} - \mathcal{L}.$$ Entonces podemos definir un corchete de Poisson para cantidades de campo, de la forma $$\{ f, g \} \equiv \sum_a \left[ \frac{ \delta f}{\delta \phi^{(a)}} \frac{ \delta g}{\delta \pi^{(a)}} - \frac{ \delta g}{\delta \phi^{(a)}} \frac{ \delta f}{\delta \pi^{(a)}}\right],$$ dónde $f$y $g$son en principio dos cantidades cualesquiera que dependen de los campos y de los momentos.

Aquí están mis preguntas:

1. ¿Es siempre el caso bajo estas definiciones que $$\{ \partial_i f, g \} \overset{?}{=} \partial_i \{f, g\}$$ para dos cantidades cualesquiera$f$y$g$?
2. ¿Es siempre el caso bajo estas definiciones que $$\{ \partial_i f, \mathcal{H} \} \overset{?}{=} \partial_i \{f, \mathcal{H} \}$$ para cualquier cantidad$f$?