¿Por qué la gente no usa las ecuaciones de Hamilton para una partícula libre relativista?

I) Aquí supondremos que OP está hablando de una partícula puntual relativista con espín cero en un$d$espacio-tiempo de Minkowski -dimensional con métrica$\eta_{\mu\nu}$de la convención de signos$(−,+,\ldots,+)$. También ponemos$c=1$por simplicidad.

Tenga en cuenta que la partícula puntual relativista tiene invariancia de reparametrización de línea universal, que es una simetría/redundancia de medida en la formulación. Somos (en gran medida) libres de parametrizar la línea de universo de la partícula puntual de la forma que queramos. Llamemos al parámetro de la línea universal para$\tau$(que no tiene por qué ser el momento adecuado). Esta libertad de calibre se puede codificar en un campo einbein$e=e(\tau)>0$. El lagrangiano hamiltoniano resultante es$^1$

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - \underbrace{\frac{e}{2}(p^2+m^2)}_{\text{Hamiltonian}}, \tag{1}$$

cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Aquí punto significa diferenciación wrt.$\tau$. El cuadrado del vector momento es

$$\begin{align} p^2~:=~& \eta^{\mu\nu} p_{\mu} p_{\nu}\cr ~=~&-(p^0)^2+{\bf p}^2\cr ~=~&-2p^+p^- + {\bf p}_{\perp}^2, \end{align}\tag{2}$$ donde hemos usado coordenadas de cono de luz en la última expresión.

II) Indicador estático$x^0=\tau$. Si nos integramos$p^0$y$e$, obtenemos el modelo de raíz cuadrada de OP

$$\begin{align} \left. L_H\right|_{x^0=\tau} \quad\stackrel{p^0}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x}- \underbrace{\left(\frac{1}{2e} + \frac{e}{2}({\bf p}^2+m^2)\right)}_{\text{Hamiltonian}}\cr\cr \quad\stackrel{e}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{3}$$

suficientemente corto$^2$veces$\Delta \tau=\tau_f-\tau_i$, la integral de trayectoria se convierte en$^3$

$$\begin{align}& \langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr ~=~&i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} \int_{\mathbb{R}^d} \!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi\hbar)^d} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( p_{\mu} \Delta x^{\mu} -\underbrace{\frac{e}{2}(p^2+m^2)}_{\text{Hamiltonian}}\Delta\tau\right)\right]\cr ~=~& \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \!\frac{\mathrm{d}^{d-1}{\bf p}}{(2\pi\hbar)^{d-1}} i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} ~\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar ie\Delta\tau}}}_{\text{Gauss. } p^0\text{-int.}} \cr &\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} -\underbrace{\left( \frac{1}{2e} + \frac{e}{2}({\bf p}^2+m^2)\right)}_{\text{Hamiltonian}}\Delta\tau\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \!\frac{\mathrm{d}^{d-1}{\bf p}}{(2\pi\hbar)^{d-1}} \frac{\hbar}{2\sqrt{{\bf p}^2+m^2}} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right]\cr ~=~&i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} ~\underbrace{\frac{1}{(2\pi\hbar ie\Delta\tau)^{d/2}}}_{\text{Gauss. } p\text{-int.}} \exp\left[\frac{i}{2\hbar}\left( \frac{(\Delta x)^2}{e\Delta\tau} - m^2e\Delta\tau\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\Big(\frac{m/\hbar}{ \sqrt{(\Delta x)^2}}\Big)^{\frac{d}{2}-1}K_{\frac{d}{2}-1}\Big(\frac{m}{\hbar}\sqrt{(\Delta x)^2}\Big) ,\end{align} \tag{4}$$ que también resulta ser el propagador escalar estándar $\langle\Omega|T[\phi (x_f)\phi (x_i)]|\Omega\rangle$en QFT/ 2ª cuantización , cf. por ejemplo, ref. 1-3. Desde una segunda perspectiva cuantificada, la$e$-integración en la ec. (4) es una parametrización de Schwinger del propagador transformado de Fourier $$\frac{i}{\hbar}\langle\Omega|T[\widetilde{\phi} (p_f)\widetilde{\phi} (p_i)]|\Omega\rangle~=~\frac{\hbar^2}{p_f^2+m^2-i\epsilon}(2\pi\hbar)^d\delta^d(p_f\!+\!p_i). \tag{5}$$ Como es bien sabido, la ec. (4) es covariante de Lorentz y cae exponencialmente fuera del cono de luz. En la ec. (4) hemos usado las integrales $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{e^{1+\nu}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&2\left(\frac{a}{b}\right)^{\nu/2} K_{\nu}\left(2\sqrt{ab}\right),\cr \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{e^{1-\nu}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&2\left(\frac{b}{a}\right)^{\nu/2} K_{\nu}\left(2\sqrt{ab}\right),\cr \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{\sqrt{e}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-2\sqrt{ab}\right],\cr {\rm Re}(a), {\rm Re}(b)~>~&0.\end{align}\tag{6}$$

III) Indicador de cono de luz $x^+=\tau$. Si nos integramos$p^-$y$e$, obtenemos

$$\begin{align} \left. L_H\right|_{x^+=\tau} \quad\stackrel{p^-,~e}{\longrightarrow}\quad & -p^+\cdot \dot{x}^- +{\bf p}_{\perp}\cdot \dot{\bf x}_{\perp}\cr & - \underbrace{\frac{{\bf p}_{\perp}^2+m^2}{2p^+}}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{7}$$

IV) Hacemos hincapié en que las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) para cualquiera de los lagrangianos hamiltonianos (1), (3) y (7) conducen a las ecuaciones de Hamilton. El punto ahora es que las cantidades físicas no deberían depender de la elección de la fijación del calibre. Somos libres de usar la opción de calibre más conveniente. Cada formulación (1), (3) y (7) son válidas y tienen sus pros y sus contras. La opción de calibre estático (3) no es favorecida debido a la raíz cuadrada.

Referencias:

1. ME Peskin y DV Schroeder, Introducción a QFT; ec. (2.50).

2. MD Schwartz, QFT y el Modelo Estándar; ec. (6.25).

3. O. Corradini & C. Schubert, Spinning Particles in QM & QFT, arXiv:1512.08694 ; subsección 1.5.1, ecs. (1.160-162)

4. T. Padmanabhan, QFT: El por qué, qué y cómo, 2016; incisos 1.3.1 + 1.4.4.

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$^1$Estrictamente hablando, también hay términos fantasma de Faddeev-Popov y términos de fijación de calibre, que hemos ignorado por simplicidad. Estos términos de acción se generan consistentemente en la formulación BFV, cf. por ejemplo, mi publicación Phys.SE aquí . El factor de normalización en la ec. (4) se puede derivar a través de la integración gaussiana en la formulación BFV sobre las 2 variables bosónicas$x^0$,$B$; y las 4 variables fermiónicas$\bar{C}$,$P$,$C$,$\bar{P}$.

$^2$Aquí solo consideramos un solo intervalo de tiempo por simplicidad. La integral de trayectoria completa es el límite continuo de múltiples discretizaciones de segmentos de tiempo con la inserción de las correspondientes relaciones de completitud. Resulta que el resultado (4) para la teoría libre no depende del número de discretizaciones de intervalos de tiempo.

$^3$Aquí usamos el Feynman$i\epsilon$-prescripción${\rm Re}(i\Delta\tau)>0$. La integración de Gauss sobre$p^0_E=i p^0_M$se amortigua después de una rotación de mecha $\tau_E=i\tau_M$,$x^0_E=ix^0_M$a la firma euclidiana.

Bueno en realidad no. PODRÍAMOS escribir hamiltoniano como raíz cuadrada, si sabemos qué es la raíz cuadrada de un operador. Por supuesto que tenemos una aproximación simple:

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+O(x^3)$$

Usando esto podríamos escribir su hamiltoniano como:

$$\mathcal H=mc^2\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2c^2}}=mc^2+\frac{p^2}{2m}+O(p^4).$$

El problema es que esta forma de hamiltoniano nos permite el transporte de partículas superlumínicas: la evolución de partículas con este hamiltoniano da una probabilidad distinta de cero en grandes distancias, muy problemático para el hamiltoniano desarrollado a partir de la teoría relativista.

La respuesta es encontrar otra solución, que después de cuadrar nos dé el hamiltoniano anterior. Así es como derivas la ecuación de Dirac: asumes algunas matrices en la ecuación y esperas poder obtener una solución:

$$\mathcal H_D=\alpha^ip_ic+\beta mc^2$$ $$\mathcal H_D^2=p^2c^2+m^2c^4$$

Los siguientes procedimientos son básicos para cada guión de teoría cuántica relativista, por ejemplo: http://inspirehep.net/record/459479/files/Forshaw.pdf , página 9.