Resolver la ecuación de Klein-Gordon con una transformada de Fourier

Entonces, estoy tratando de resolver la ecuación de Klein-Gordon usando una transformada de Fourier solo de los componentes espaciales. La ecuación de Klein-Gordon dice:

$$(\partial ^2 + m^2)\phi(x) = 0.$$

si dejo

$$\phi(x) = \phi(t, \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} } \mathrm{d}^3k,$$

Sustituyo esto en la ecuación de KG para obtener

$$\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial t^2} +(\mathbf{k}^2+m^2)\widetilde{\phi}=0.$$

Esta es la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple, así que puedo escribir inmediatamente

$$\widetilde{\phi}(t,\mathbf{k})=A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t},$$

y por lo tanto encuentro

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t -\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$

Ahora, en esta etapa, me confundo un poco. He visto la solución general de la ecuación de Klein-Gordon y tiene un factor de$1/2 \omega_{\mathbf{k}}$dentro del integrando, ¿algún consejo sobre cómo puedo proceder con esto?

También he leído que para ordenar la notación establecería$\mathbf{k} \rightarrow -\mathbf{k}$en el segundo término del integrando, pero ¿no cambiaría esto$\mathrm{d}^3k \rightarrow -\mathrm{d}^3k$como el determinante jacobiano es$-1$, entonces seguramente debería ser una diferencia de dos términos?

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La solución a la que estoy tratando de llegar:

$$\phi(x)= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \bigg(A(\mathbf{k})e^{i \omega_{\mathbf{k}}t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}+B(\mathbf{k})e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t +\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\bigg) \mathrm{d}^3k.$$